4.3.1 对数的概念 【学习目标】 1.能说明对数的含义,解释对数的真数、底数的意义及其取值范围,明确对数与指数的关系,并能根据对数的定义进行指数式与对数式的互化. 2.了解常用对数与自然对数的概念与表示. 3.掌握对数的性质以及对数恒等式. ◆ 知识点一 对数的概念 1.定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作 的对数,记作 ,其中a叫作对数的 ,N叫作 . 2.以10为底的对数叫作 ,并把log10N记为 .以无理数e=2.718 28…为底的对数称为 ,并把logeN记为 . 3.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,ax=N . 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)logaN(a>0,且a≠1)是loga与N的乘积. ( ) (2)(-2)4=16可化为log(-2)16=4. ( ) (3)对数式log32与log23的意义一样. ( ) (4)对数运算的实质是求幂指数. ( ) 2.在对数概念中,为什么规定a>0,且a≠1呢 ◆ 知识点二 对数的性质与对数恒等式 1.对数的性质:如果a>0,且a≠1,那么 (1)logaa= ,语言表述为 ; (2)loga1= ,语言表述为 ; (3) 没有对数. 2.对数恒等式为 (a>0且a≠1,b>0). 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对任意a∈R,均有logaa=1. ( ) (2)对任意a>0,均有loga1=0. ( ) (3)对任意b∈R,均有=b. ( ) 2.你能推出对数恒等式=N(a>0且a≠1,N>0)吗 ◆ 探究点一 对数的概念 例1 (1)(多选题)下列说法中错误的是 ( ) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以10为底的对数叫作自然对数 D.以e为底的对数叫作常用对数 (2)使对数式log2(-x2+2x+3)有意义的x的取值范围为 ( ) A.(-1,3) B.(3,+∞) C.(-∞,-1) D.(-3,1) (3)已知对数式log(a+1)有意义,则a的取值范围为 . 变式 求下列各式中实数x的取值范围. (1)log(2x-1)(3x+2);(2)lo(-3x+8). [素养小结] 对数式有意义的两个条件:①底数大于0且不等于1;②真数必须大于0. ◆ 探究点二 指数式与对数式的互化 例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式. (1)10-3=0.001;(2)=x; (3)8x=30;(4)lo8=-3; (5)log3=-4;(6)x=ln;(7)3=lg x. 变式 (1)[2025·深圳外国语学校高一期中] 若m2025=n(m>0且m≠1),则 ( ) A.logmn=2025 B.lognm=2025 C.log2025m=n D.log2025n=m (2)(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是 ( ) A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=- C.log39=2与=3 D.log55=1与51=5 (3)若a=lg 2,b=lg 3,则10的值为 . [素养小结] 对数式与指数式的关系:由对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.其关系如下表: 式子 名称 意义 a x N 指数式ax=N (a>0,且a≠1) 底数 指数 幂 a的x次幂等于N 对数式logaN=x (a>0,且a≠1) 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于x ◆ 探究点三 求对数值 例3 求下列各式的值. (1)log232;(2)lg 1000; (3)log4;(4)lo(3-2). 变式 已知a>0,且a≠1,若=,则a= ,loa= . [素养小结] 求对数式logaN(a>0,且a≠1)的值的步骤:(1)设logaN=m;(2)将logaN=m写成指数式am=N;(3)将N写成以a为底的指数幂ab,则m=b,即logaN=b. ◆ 探究点四 利用对数性质或对数恒等式求值 例4 (1)求下列各式的值: ①log330= ;②log77= ; ③lg(lg 10)= ;④lg(ln e)= ; ⑤ln(lg 10)= ;⑥ln(ln e)= ; ⑦0.= ;⑧+e2ln 4= . (2)求下列各式中x的值. ①log3(lg x)=1;②x=;③logx(log24)=1;④=39;⑤=x. 变式 (1)已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]= ... ...
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