5.4.2 第2课时 单调性、最大值与最小值（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

第2课时　单调性、最大值与最小值 【学习目标】 　　1.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小. 　　2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的单调区间. 　　3.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值. ◆ 知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与 最值 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 　　　 　　　 单调性 在每一个闭区间　　　　　　　　(k∈Z)上都单调递增,在每一个闭区间　　　　　　　　(k∈Z)上都单调递减 在每一个闭区间　　　　　　(k∈Z)上都单调递增,在每一个闭区间　　　　　　(k∈Z)上都单调递减 最值 x=　　　　　(k∈Z)时,ymax=1; x=　　　　　(k∈Z)时,ymin=-1 x=　　　　(k∈Z)时,ymax=1; x=　　　　(k∈Z)时,ymin=-1 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)余弦函数在[-π,0]上单调递增. (　 ) (2)函数y=sin在区间上单调递增. (　 ) (3) x∈[0,2π],cos x=. (　 ) (4)函数y=1-cos 2x的最大值是 +1,最小值是1-,最小正周期是π. (　 ) (5)函数y=-2sin取得最小值时自变量x的取值集合是. (　 ) ◆ 探究点一　三角函数的单调性及应用 角度1　比较三角函数值的大小 例1 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin　　　　sin; (2)cos　　　　cos; (3)cos 1　　　　sin 2; (4)sin　　　　sin. [素养小结] 利用单调性比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化为同名函数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大小. 角度2　求正弦型函数、余弦型函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间. (1)y=sin; (2)y=cos. 变式 (1)已知函数f(x)=sin,则f(x)在上的单调递增区间为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. (2)函数f(x)=-cos在[-π,π]上的单调递减区间为　　　　　　　　. [素养小结] 1.求y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看成一个整体“z”,利用正(余)弦函数的单调性,求原函数的单调性.若ω<0,则利用诱导公式,先将x的系数转化为正数. 2.结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间是求解的关键.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式,并注意k∈Z. 拓展 已知函数f(x)=cos,其中ω>0.若f(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围是 (　 ) A. B. C. D.(0,1] ◆ 探究点二　三角函数的值域及最值 角度1　形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b(A≠0,ω>0)的最值(值域)问题 例3 (1)求y=sin,x∈的值域. (2)已知函数f(x)=acos+b(a≠0),当x∈时,f(x)的最大值为3,最小值为0,求a和b的值. 变式 求函数f(x)=sin-在区间上的最值及相应的x的值. [素养小结] 对于形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)(A≠0,ω>0)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t(或y=cos t)的最值(值域),最后求得原函数的最值(值域). 角度2　形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的最值(值域)问题 例4 (1)函数f(x)=2sin2+sin x-1,x∈(0,π)的值域为 (　 ) A. B.[0,1) C.(0,1) D. (2)函数f(x)=2sin2x+cos x,x∈的值域为　　　　. 变式 若函数f(x)=cos2x-asin x+b(a>0)的最大值为0,最小值为-4,则2a+b=　　　　. [素养小结] 对于形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据原函数的定义域来确定. 第2课时　单调性、最大值与最小值 【课前预习】 知识点 [-1,1]　[-1,1] 　[2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π]　+2kπ -+2kπ　2kπ　2kπ+π 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　[解析] (2)当x∈时,x+∈,故函数y ... ...