第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定 【课程标准要求】 1.通过对命题的否定的认识,提升数学抽象素养.2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理素养. 知识点一 命题的否定 当命题是真命题时,命题的否定是假命题;当命题是假命题时,命题的否定是真命题. 通常,对命题p进行否定,就得到一个新的命题,用符号“﹁p”表示,读作“非p”或“p的否定”. [思考] 对于不含量词的命题如何进行否定 提示:条件不变,只把结果否定. 知识点二 全称量词命题的否定 全称量词 命题 全称量词 命题的否定 结论 x∈M,p(x) x∈M, ﹁p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 知识点三 存在量词命题的否定 存在量词 命题 存在量词 命题的否定 结论 x∈M,p(x) x∈M, ﹁p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 知识拓展 常见词语的否定 词语 词语的否定 等于 不等于 大于 不大于(即小于或等于) 小于 不小于(即大于或等于) 是 不是 都是 不都是(与“都不是”区别开) 至多一个 至少两个 至少一个 一个也没有 任意 某个 所有的 某些 题型一 全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断它们的真假. (1) a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根; (2)每个正方形都是平行四边形. 【解】 (1) a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根,其否定为: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根,由Δ=a2+4>0,可得原命题为真命题,命题的否定为假命题. (2)每个正方形都是平行四边形,其否定为:存在一个正方形不是平行四边形,原命题为真命题,其否定为假命题. 全称量词命题的否定的两个关注点 (1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定. (2)有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,不要将否定直接写成“是”或“不是”,而要具体情况具体分析. [变式训练] 命题“ x∈[-1,3],-x2+3x-2≤0”的否定为( ) A. x∈[-1,3],x2-3x+2<0 B. x∈[-1,3],-x2+3x-2≤0 C. x∈[-1,3],x2-3x+2≤0 D. x [-1,3],x2-3x+2<0 【答案】 A 【解析】 根据全称量词命题的否定形式可知: 命题 x∈[-1,3],-x2+3x-2≤0的否定为 x∈[-1,3],-x2+3x-2>0,即x2-3x+2<0. 故选A. 题型二 存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假. (1)p: x>1,使x2-2x-3=0; (2)p:有些素数是奇数; (3)p:有些平行四边形不是矩形. 【解】 (1)p的否定: x>1,x2-2x-3≠0,它是假命题. (2)p的否定:所有的素数都不是奇数,它是假命题. (3)p的否定:所有的平行四边形都是矩形,它是假命题. 存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论. [变式训练] 写出下列存在量词命题的否定,并判断它们的真假. (1) m∈N,∈N; (2)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°. 【解】 (1) m∈N,∈N,其否定为: m∈N, N,由m=0时,=1∈N,则原命题为真命题,其否定为假命题. (2)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°,其否定为任意四边形ABCD,其内角和等于360°,连接四边形的一条对角线,可得两个三角形,则此四边形的内角和为360°,可得原命题为假命题,其否定为真命题. 题型三 存在量词命题、全称量词命题的综合应用 [例3] 已知函数y=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立 并说明理由; (2)若存在一个实数x,使不等式m-(x2-2x+5)>0 成立,求实数m的取值范围. 【解】 (1)不等式m+y>0可化为m>-y, 即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,此时实数m的取值范围是(-4,+∞). (2)不等式m-(x2-2x+5)>0可化为m>x2-2x+5,若存在一个实数x,使不等式m>x2-2x+5成立,只需m>ymin,又y=(x-1)2+4,所以ymin=4,所以 ... ...
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