2.1 函数概念 【课程标准要求】 1.通过用集合语言和对应关系刻画函数,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,通过简单函数的定义域、值域的求解,提升数学运算的核心素养. 知识点一 函数的概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中集合A称为函数的定义域,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.习惯上我们称y是x的函数. [思考1] 如果函数y=f(x)的定义域、值域确定,那么对应关系确定吗 提示:不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系f(x)=x2或f(x)=|x|均可. 知识点二 同一个函数 一般地,如果两个函数的定义域相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的是同一个函数. [思考2] 函数y=f(x)(x∈R)与y=f(t)(t∈R)是同一个函数吗 提示:是,虽然自变量的表示字母不同,但是定义域都是R,并且对应关系f相同. 知识拓展 理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数. (2)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”. (3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数. 题型一 函数概念的理解 [例1] 下列从集合A到集合B的对应关系中,判断y是不是x的函数. (1)A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系f:x→y=; (2)A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x; (3)A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25; (4)A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y=x2; (5)A={(x,t)|x∈R,t∈R},B={y|y∈R},对应关系f:(x,t)→y=x+t; (6)A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={y|y=0},对应关系f:x→y=0. 【解】 (1)在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以y不是x的函数. (2)在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以y不是x的函数. (3)在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以y不是x的 函数. (5)A不是数集,所以不能确定y是x的函数. (4)(6)中的对应关系满足函数的概念,y是x的函数. 判断一个对应关系是不是函数的方法 [变式训练] (1)(多选题)下列对应关系f是A到B的函数的是( ) A.A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根 B.A=R,B=R,f:x→x的倒数 C.A=R,B=R,f:x→x2-2 D.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:x→x2 (2)(多选题)集合A,B与对应关系f如图所示,则f:A→B是从集合A到集合B的函数的是( ) A B C D 【答案】 (1)CD (2)AC 【解析】 (1)对于A,集合A中的一个元素,在集合B中能找到两个元素与之对应,不是A到B的函数;对于B,集合A中有一个元素0,在集合B中没有对应元素,不是A到B的函数;对于C,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是A到B的函数;对于D,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是A到B的函数.故选C,D. (2)对于A,集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个元素与之对应,是A到B的函数;对于B,集合A中存在元素3在集合B中没有与之对应的元素,不是A到B的函数;对于C,集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个元素与之对应,是A到B的函数;对于D,集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应,不是A到B的函数.故选A,C. 题型二 函数定义域的求法 [例2] 求下列函数的定义域. (1)y=-; (2)y=; (3)y=+; (4)f(x)=+. 【解】 (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤1,且x ... ...
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