2.2 古典概型的应用 【课程标准要求】 1.了解互斥事件的概率加法公式,提升数学抽象与数学运算的核心素养.2.能够灵活运用对立事件的概率计算公式求解事件的概率,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 知识点一 互斥事件的概率加法公式 1.在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B).这一公式称为互斥事件的概率加法公式. 2.一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An). [思考1] 用文字语言叙述以上两个公式的意义. 提示:两个互斥事件的并事件(或和事件)的概率等于这两个事件概率的和; n个两两互斥事件的并事件(或和事件)的概率等于其概率的和. 知识点二 对立事件的概率计算公式 P(A∪)=P(A)+P(),即P(A)+P()=1,所以P()=1-P(A). [思考2] 已知P(A)=0,P(B)=1,求P(). 提示:P()=1-P(A∪B)=1-1=0. 知识拓展 设A,B是一个随机试验中的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 题型一 互斥事件的概率加法公式 [例1] 从一箱产品中随机抽取一件产品,设事件A为“抽到的是一等品”,事件B为“抽到的是二等品”,事件C为“抽到的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05,求下列事件的概率. (1)事件D“抽到的是一等品或二等品”; (2)事件E“抽到的是二等品或三等品”; (3)事件F“抽到的是一等品或二等品或三等品”. 【解】 (1)因为事件A,B互斥,所以事件D“抽到的是一等品或二等品”的概率为P(D)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7+0.1=0.8. (2)因为事件B,C互斥,所以事件E“抽到的是二等品或三等品”的概率为P(E)=P(B∪C)= P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15. (3)因为事件A,B,C两两互斥,所以事件F“抽到的是一等品或二等品或三等品”的概率为P(F)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.7+0.1+0.05=0.85. (1)将一个事件拆分为若干个互斥事件,分别求出各个事件的概率,然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果. (2)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否彼此互斥,同时要学会把一个事件拆分为几个彼此互斥事件,做到不重不漏. (3)常用步骤:①确定各事件彼此互斥;②求各个事件分别发生的概率,再求其和. [变式训练] (1)某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛,甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和,则该市球队夺得全省足球冠军的概率为( ) A. B. C. D. (2)已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,则P(B∪C)等于( ) A. B. C. D. 【答案】 (1)D (2)B 【解析】 (1)设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺得全省足球冠军,则P(A)=,P(B)=,且A,B互斥,该市球队夺得全省足球冠军即事件A∪B,于是 P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.故选D. (2)因为事件A,B,C两两互斥,P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=-=,所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=.故选B. 题型二 对立事件的概率计算公式 [例2] 某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示: 人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求派出医生至多2人的概率; (2)求派出医生至少2人的概率. 【解】 设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及以上医生”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)法一———派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 法二———派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74. 在求解复杂事件的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的事件的概率之和;二是先求此事件的对立事件的概率, ... ...
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