【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 课件--2026版高中数学人教B版必修第一册

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第二章 等式与不等式 2.2　不等式 2.2.4　均值不等式及其应用 第2课时　均值不等式的应用 学习任务 1．进一步熟练掌握均值不等式，能够通过配凑、变形等方法利用均值不等式求最值．(数学运算) 2．会用均值不等式解决实际应用题．(数学建模) (1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ 问题　实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 必备知识·情境导学探新知 知识点　重要结论 已知x，y都是正数． (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值_____． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 2 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值． (　　) (2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4． (　　) (3)当x>－1时，函数y＝x＋≥4，所以函数y的最小值是4． (　　) × √ √ [提示]　(1)由a＋b≥2可知正确． (2)由ab≤＝4可知正确． (3)不是常数，故错误． 类型1　利用均值不等式求最值 考向1　直接利用均值不等式求最值 【例1】　(1)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 (2)当x＞1时，的最小值为_____． 关键能力·合作探究释疑难 √ 8 (1)C　(2)8　[(1)因为x＞0，y＞0，所以，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81． (2)令t＝＝＝(x－1)＋＋2，因为x－1＞0， 所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8．] 发现规律　利用均值不等式求最值时的注意点 (1)x，y一定要都是____． (2)求积xy最大值时，应看_____是否为定值；求和x＋y最小值时，应看_____是否为定值． (3)____是否能够成立． 简记为“一正二定三相等”，三个条件缺一不可． 正数 和x＋y 积xy 等号 [跟进训练] 1．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊙k＝3，则k的值为_____，此时函数y＝的最小值为_____． 1　3　[由题意得1⊙k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，所以＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1．y＝＝＝1＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时，等号成立．] 1 3 考向2　间接利用均值不等式求最值 【例2】　(1)已知x<，求4x－2＋的最大值． (2)当00， 所以4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立，故当x＝1时，4x－2＋取得最大值1． (2)由00，y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤＝8， 当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立， 故当x＝2时，y＝x(8－2x)取得最大值为8． 反思领悟　通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑时，以整式为基础，注意利用系数的变化以及对等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式求最值的三个条件． [跟进训练] 2．(1)已知x<，则3x＋的最大值为_____． (2)已知00， 所以3x＋＝2－≤2－2＝2－2，当且仅当2－3x＝，即x＝时等号成立． 所以3x＋的最大值为2－2． 2－2 　 (2)因为0 ... ...