【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.1 命题与量词 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 学习任务 1．理解命题的含义，并会判断其真假．(数学抽象、逻辑推理) 2．理解全称量词与全称量词命题的定义，理解存在量词与存在量词命题的定义．(数学抽象) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(逻辑推理) 我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题．试判断下列语句是不是命题，若是命题，你会判断其真假吗？ (1)是无限循环小数； (2)若x是任意实数，则|x|≥0； (3)x2－4＝0； (4)存在实数x，使得x2－4＝0； (5)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ (6)向雷锋同志学习！ 问题　上述是命题的语句中，哪些含有量词？分别是什么类型的量词？ 知识点1　命题 　 (1)我们把未能得到真假判断的命题称为猜想．疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题． (2)要判定一个命题为真命题，需要经过严格的证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可． 知识点2　量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 命题形式 对集合M中所有元素x，r(x)，可用符号简记为 x∈M，r(x) 存在集合M中的元素x，s(x)，可用符号简记为 x∈M，s(x) “一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． [提示]　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使一元二次方程ax2＋2x＋1＝0”． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“三角形内角和是180°”是全称量词命题． (　　) (2)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题． (　　) (3)“ x∈R，x2＋1≥1”是真命题． (　　) (4)“ x∈R，x2<0”是真命题． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× [提示]　(1)所有三角形的内角和都是180°． (2)含有存在量词“有些”． (3) x∈R，x2≥0，故x2＋1≥1． (4)不存在x2<0． 2．下列语句中是命题的有_____；是真命题的有_____．(只填序号) ①这幅画真漂亮！②求证是无理数；③矩形是平行四边形吗？④两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；⑤x2－1>0(x∈R)． ④⑤　④　[①感叹句，不是命题．②祈使句，不是命题．③疑问句，不是命题．④是数学中的公理，是真命题．⑤可以判断其真假，故它是命题，当x＝0时，该命题不成立，故它是假命题．] 类型1　命题及其真假的判断 【例1】　(1)下列语句是命题的是(　　) ①矩形的对角线相等；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2025年央视春晚真精彩啊！ A．①②③　　　 B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤ (2)(多选)有下列命题，其中为真命题的是(　　) A．若x＋y>0，则x>0且y>0 B．3是方程x2－9＝0的一个根 C．若m≥1，则m＋3<4的解集是R D．若a＋7是无理数，则a是无理数 (1)A　(2)BD　[(1)①②③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④⑤不是命题． (2)对于A，x＝－1<0，y＝3>0有x＋y>0，是假命题． 对于B，3是方程x2－9＝0的一个根，是真命题． 对于C，m≥1，则m＋3≥4，故为假命题． 对于D，若a＋7是无理数，则a是无理数，是真命题．] 　判断命题真假的方法 (1)判断一个命题是真命题，可从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明． (2)判断一个命题是假命题，首先分清原命题的条件与结论，然后举反例说明这个命题是假命题，就是所举例子满足命题条件，而不满足结论． (3)注意：一个命题的真假与命题的背景有关，对其进行判断时，要注意命题的前提． [跟进训练] 1．(源自苏教版教材)判断下列命题的真假： (1)若a＝b，则a2＝b2； (2)若a2＝b2，则a＝b； (3)全等三角形的面积相等； (4)面积相等的三角形全等． [解]　(1 ... ...