【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.1 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学习任务 1．理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(数学抽象、数学运算) 2．掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(逻辑推理) 3．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(数学运算) 从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等． 问题　你知道竹竿有多长吗？ 知识点1　一元二次方程的定义 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是____，且____． 1．方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数)一定是一元二次方程吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2　一元二次方程的解法 直接开平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边_____，转化为两个一元一次方程 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过____化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用_____求解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝求解 因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个_____的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝___，x2＝___ 知识点3　一元二次方程根的判别式 式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac．当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个_____的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个____的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____实数根． 知识点4　一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝_____，x1x2＝． 重要推论 (1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q． (2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0． 2．利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用公式法解一元二次方程3x2＝－2x＋3时， a＝3，b＝－2，c＝3，再代入公式即可． (　　) (2)方程x2－2＝0的解是x＝． (　　) (3)关于x的方程a2x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根． (　　) 2．解一元二次方程x(x－2)＝x－2时，小明得出方程的根是x＝1，则被小明漏掉的一个根是x＝_____． 3．若2和－5为一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，则b，c的值分别等于_____． 类型1　一元二次方程的解法 　用配方法解一元二次方程 【例1】　利用配方法解方程4x2＋8x＋1＝0． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　用配方法解一元 ... ...