类型1 解含参数的一元二次方程 方程是否为一元一次方程，一元二次方程，必须看未知数的系数和其他参数所满足的条件，方程是否有解，同样需要对参数的取值进行分类讨论．对于一元二次方程根的讨论常从以下几个方面考虑： (1)二次项的系数a：a＝0，方程不是一元二次方程． (2)判别式Δ＝b2－4ac：Δ>0 方程有两个不相等的实数根；Δ＝0 方程有两个相等的实数根；Δ<0 方程没有实数根． 【例1】 关于x的方程，kx2＋(k＋1)x＋k＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k，使方程的两实数根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)由题意，得Δ＝(k＋1)2－4kk＝k2＋2k＋1－k2＝2k＋1>0，∴k>－．又k≠0， ∴k的取值范围为∪(0，＋∞)． (2)不存在．理由：设方程的两根分别是x1和x2， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴＝＝－＝0， ∴k＋1＝0，即k＝－1． ∵k>－且k≠0， ∴k＝－1不满足题意． 故实数k不存在． 类型2 解含参数的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论主要从以下三个方面来考虑： (1)二次项系数含有参数a，则需要对a分类讨论，即a>0，a＝0，a<0． (2)可因式分解的一元二次不等式的讨论，要对方程对应的两根大小进行讨论，即x1>x2，x1＝x2，x1
0，Δ＝0，Δ<0． 【例2】 解关于x的不等式ax2－3x＋2>5－ax(a∈R)． [解] 原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0． ①当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}． ②当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根分别为x1＝－1，x2＝． 当a>0时，原不等式的解集为． 当a<0时，若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为； 若<－1，即－30时，原不等式的解集为． 类型3 均值不等式的变形技巧 运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分运用“一正、二定、三相等”这三个条件，观察结果，合理变形，凑“定和”和“定积”．其中，合理变形是关键． 技巧一：裂项 【例3】 设x>－1，则函数y＝的最小值为_____． 9 [由x>－1知，x＋1>0， 所以y＝ ＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立． 所以y的最小值为9．] 技巧二：添项 【例4】 函数y＝x2＋的最小值为_____． 2 [因为2＋x2>0， 所以y＝x2＋＝2＋x2＋－2≥2－2＝2， 当且仅当2＋x2＝， 即x＝0时，等号成立．所以y的最小值为2．] 技巧三：放入根号内或平方 【例5】 若00，所以x＝×2x＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C．] 技巧四：“1”的代换 【例6】 已知x>0，y>0，且满足x＋2y－xy＝0，则的最大值为( ) A．9 B．6 C．4 D．1 D [因为x＋2y－xy＝0，x>0，y>0，所以＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＝＋5≥2＋5＝9， 当且仅当＝，即x＝y＝3时等号成立， 所以≤1，即的最大值为1． 故选D．] 技巧五：分离变量法 【例7】 若对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是_____． (－∞，9] [因为对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，所以只需满足a≤，因为x>0，所以＝x＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故实数a的取值范围是(－∞，9]．] 类型4 利用均值不等式解决恒成立问题 【例8】 已知a>0，b>0，且ab＝1，不等式≥4恒成立，则正实数m的取值范围是( ) A．[2，＋∞) B．[4 ... ... 