【学霸笔记：同步精讲】4.1 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件----2026版高中数学人教A版必修第一册

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第四章 指数函数与对数函数 4.1　指数 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [学习目标]　1．通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程．(数学抽象) 2．掌握实数指数幂的运算性质．(数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．无理数指数幂的含义是什么？ 问题2．如何利用实数指数幂的运算性质进行化简？ 探究建构 关键能力达成 探究1　无理数指数幂的运算 问题　结合课本108页的探究，思考是不是一个确定的实数，为什么？ 提示：是一个确定的实数．因为当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，3x和3y都趋向于同一个数，故它是一个确定的实数． [新知生成] 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的____． 2．实数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 实数 [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)化简下列各式： (1)； (2)(－2)4·4π-2． [解]　(1)＝＝32＝9． (2)(－2)4·4π-2＝42·4π-2＝42+π-2＝4π． 反思领悟　关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同． (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算． [学以致用]　【链接教材P109练习T1】 1．化简下列各式： (1)； (2)π4-π·ππ-2． [解]　(1)(＝57＝78 125． (2)π4-π·ππ-2＝π(4-π)＋(π-2)＝π2． 【教材原题·P109练习T1】计算下列各式： (1)； a－π． [解]　(1)原式＝＝·＝26m3＝64m3； (2)原式＝＝a0＝1． 探究2　实际问题中的指数运算 [典例讲评]　2．从盛满2 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒____次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%． 4　[由题意，得第n次操作后溶液的浓度为，令<，验证可得n≥4． 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．] 4　 反思领悟　指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等． [学以致用]　【链接教材P110习题4.1T9】 2．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率约是_____．(下列数据仅供参考：≈1.41，≈1.73，≈1.44，≈1.35) 41%　[设每年比上一年平均增长的百分率为x，原来工资为a(a>0)，由题意可得a(1＋x)6＝8a，即(1＋x)2＝2，解得x＝－1≈1.41－1＝0.41或x＝－－1(舍去)，所以每年比上一年平均增长的百分率约是41%．] 41%　 【教材原题·P110习题4.1T9】从盛有1 L纯酒精的容器中倒出 L，然后用水填满；再倒出 L，又用水填满…… (1)连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？ (2)连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？ [解]　(1)倒出1次后纯酒精还剩 L，加满水后浓度为． 倒出2次后纯酒精还剩(L)，加满水后浓度为． 倒出3次后纯酒精还剩(L)，加满水后浓度为． 倒出4次后纯酒精还剩(L)，加满水后浓度为． 倒出5次后纯酒精还剩(L)． (2)由(1)知，连续进行了n次，容器中的纯酒精还剩下 L． 探究3　实数指数幂的综合运用 [典例讲评]　3．已知x＋x-1＝7，求值： (1)x2＋x-2； ； (3)x2－x-2． [解]　(1)x＋x-1＝7，两边平方得x2＋2＋x-2＝49， 所以x2＋x-2＝47． (2)设m＝，两边平方得m2＝x＋x-1＋2＝7＋2＝9， 因为m>0，所以m＝3，即＝3． (3)设n＝，两边平方得n2＝x＋x-1－2＝7－2＝5， 因为n∈R，所以n＝±，即＝±． 所以 ... ...