【学霸笔记：同步精讲】5.4 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性 课件----2026版高中数学人教A版必修第一册

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第五章 三角函数 5.4　三角函数的图象与性质 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　周期性与奇偶性 [学习目标]　1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理) 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．周期函数的定义是什么？ 问题2．如何利用周期函数的定义求正弦、余弦函数的周期？ 问题3．正弦、余弦函数是否具有奇偶性？ 探究建构 关键能力达成 探究1　正弦函数、余弦函数的周期 问题　观察下面正弦函数的图象，可以发现横坐标每隔2π个单位长度，对应点的纵坐标都相同，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．如何用数学语言描述这一现象？ 提示：sin (x＋2kπ)＝sin x，其中k∈Z． [新知生成] 1．函数的周期性 一般地，设函数 f (x)的定义域为D，如果存在一个_____，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_____，那么函数f (x)就叫做周期函数．_____叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个_____，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． 非零常数T f (x＋T)＝f (x) 非零常数T 最小的正数 3．正弦函数是_____，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 4．余弦函数是_____，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 周期函数 周期函数 【教用·微提醒】　(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期． [典例讲评]　【链接教材P201例2】 1．求下列函数的最小正周期T： (1) f (x)＝7sin 2x，x∈R； (2) f (x)＝cos ； (3) f (x)＝|sin x|． [解]　(1)因为7sin [2(x＋π)]＝7sin (2x＋2π)＝7sin 2x，由周期函数的定义知，y＝7sin 2x的最小正周期为π． (2)法一(定义法)： ∵f (x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f (x＋π)， 即f (x＋π)＝f (x)， ∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π． 法二(公式法)：∵f (x)＝cos ，∴ω＝2． 又T＝＝π．∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π． (3)法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|， ∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)， ∴f (x)的最小正周期为π． 法二(图象法)： 作出函数f (x)＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π． 【教材原题·P201例2】 例2　求下列函数的周期： (1)y＝3sin x，x∈R； (2)y＝cos 2x，x∈R； (3)y＝2sin ，x∈R． 分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式 f (x＋T)＝f (x)而求出相应的周期． 对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x＋T)＝cos 2x，x∈R； 对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出 sin ＝sin ，x∈R． [解]　(1) x∈R，有3sin (x＋2π)＝3sin x． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π． (2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，即 cos (z＋2π)＝cos z， 于是cos (2x＋2π)＝cos 2x， 所以cos 2(x＋π)＝cos 2x，x∈R． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π． (3)令z＝， 由x∈R得z∈R， 且y＝2sin z的周期为2π，即 2sin (z＋2π)＝2sin z， 于是2sin ＝2sin ， 所以2sin ＝2sin ． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π． 反思领悟　求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解 ... ...