2.5.1椭圆的标准方程 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.5.1椭圆的标准方程 一、学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义． 2.掌握椭圆的标准方程的推导 3.会求简单的椭圆的标准方程，能利用直接法、定义法、代入法解与椭圆有关的轨迹问题． 二、重难点 重点：椭圆的定义运用和标准方程求法 难点：椭圆有关的轨迹问题 三、知识梳理 1.椭圆的定义：如果是平面内的两个定点， 是一个常数，且， 则平面内满足的动点P的轨迹称为 ，其中两个定点称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离称为椭圆的 . 2.焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 . 3.焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 . 4.注意： (1)时，表示的图形是_____ (2)时，不表示任何图形 5.椭圆的标准方程的推导 一般地，如果椭圆的焦点为 和 ，焦距为 ，而且椭圆上的动点 满足，其中 ．则以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．此时，椭圆的焦点分别为 ． 设 是椭圆上任意一点，则 ，因为 ，所以 ① . 当 时，，由 ① 得，整理得 ② ① + ② 整理得 ③， 将 ③ 式平方，再整理得 ④， 当 时，由 ① 可知 ，此时 ⑥ 也成立．因为 ，所以 ，设 且 ，则 ③ 式可化为 . 可以验证，方程 就是椭圆的方程，通常称为焦点在 轴上的椭圆的标准方程. 同理可得焦点在 轴上的椭圆的标准方程 四、例题讲解 例 1 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点分别是 ，椭圆上的点 到两焦点的距离之和等于 8； （2）两个焦点分别是 ，并且椭圆经过点 ． 例 2 已知 是平面内的两个定点，，且平面内 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 的轨迹方程． 五、课堂练习 1.若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为( ) A.1 B.1或5 C.5 D.3或5 2.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.如果椭圆的方程是，那么它的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 5.“”是“曲线表示椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的一个焦点坐标，则( ) A. B.5 C.5或3 D.3 8.已知椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 9.若椭圆的一个焦点为，则p的值为_____. 10.若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则_____. 六、课后练习 1.椭圆的一个焦点是，那么( ) A.1 B. C. D. 2.椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，若，则( ) A.3 B.4 C.6 D.8 3.已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则( ) A.5 B.6 C.9 D.10 4.若方程表示椭圆，则k的值不可能是( ) A.1 B. C.2 D.3 5.（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是( ) A. B. C. D. 6.（多选）已知曲线，则下列结论正确的有( ) A.若，则C是焦点在轴上的椭圆 B.若，则C是圆 C.若，则C是焦点在轴上的椭圆 D.若，则C是两条平行于y轴的直线 7.已知椭圆的一个焦点是，则k的值为_____. 8.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_____． 9.若焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则实数m的值为_____． 10.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_____. 答案及解析 三、知识梳理 椭圆 焦点 焦距 (1)一条线段 例题讲解 例题1 解：（1）由已知得 ，因此 ．又因为 ，所以，因为椭圆的焦点在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 （2）因为椭圆的焦点在 轴上，设它的标准方程为.由已知得 又因为 ，所以 ．因为点 在椭圆上，所以 ，即.从而有 ，解得 或 （舍去）．因此 ，从而所求椭圆的标准方程为 . 例题2 分析：由 的周长等于 18 且 ，可知点 到 两个定点的距离之和总是等于 10，因此点 一定在以 为焦点的 ... ...