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课件网) 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 第2课时 轨迹问题 探究点一 定义法求轨迹方程 探究点二 相关点（代入法）求轨迹方程 探究点三 直接法求轨迹方程 ◆ ◆ ◆ 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程. 探究点一 定义法求轨迹方程 例1 ［2025·重庆巴蜀中学高二期中］已知圆 和圆，若动圆 与这两圆一个内切一个外切， 记该动圆圆心的轨迹为，则 的方程为( ) A. B. C. D. √ [解析] 圆的圆心为,半径,圆的圆心为 ,半 径，由，可知圆内含于圆 . 设动圆的半径为，由题意知, ，两式 相加可得， 故点的轨迹为以 , 为焦点的椭圆，且,， 所以 ,，所以椭圆方程为 .故选A. 变式（1）已知的周长为20，且顶点, ，则顶点 的轨迹方程是( ) A. B. C. D. [解析] 的周长为20，顶点,， ，， ， 顶点 到两个定点的距离之和等于定值， 顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（不含与 轴的交点） ，，， 顶点 的轨迹方程是 . 故选B. √ （2）已知圆，点，是圆 上的任意一 点，线段的垂直平分线和相交于点，则动点 的轨迹方程为 _ _____． [解析] 连接，根据题意知 ，则 ，故的轨迹是以， 为 焦点，长轴长为4的椭圆. 设椭圆方程为 ，则有,， 所以,，则，所以动点 的轨迹方程为 ． ［素养小结］ 用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点 轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确 定
，
的值. 探究点二 相关点（代入法）求轨迹方程 例2 在中，已知，， . （1）求顶点 的轨迹方程； 解：由题意可得， 故顶点 的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点）， 且 ， ， 又，， ， 则顶点的轨迹方程为 ． （2）求的重心 的轨迹方程． 解：设重心为，，则 ， ， 即的重心的轨迹方程为 ． 变式 已知为椭圆上一动点，记原点为，若 ， 求点 的轨迹方程． 解：设点，由得点 ， 又点为椭圆 上的动点， 所以，整理得 ， 所以点的轨迹方程是 . ［素养小结］ 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件 中去，即可解决问题. 探究点三 直接法求轨迹方程 例3 已知的两个顶点分别是和，边， 所 在直线的斜率的乘积是，求顶点 的轨迹方程. 解：设顶点的坐标为，则， . 依题意得，化简可得顶点 的轨迹方程为 . 变式（1）在平面直角坐标系中，已知点，直线 .若 动点在直线上的射影为，且，设点的轨迹为 ， 则 的轨迹方程为_ _____. [解析] 设，由 ，得 ,即 . （2）［2025·潍坊高二期中］已知定点,，动点 满足 .设动点的轨迹为，则 的方程为_____. [解析] 设，则, , ，， 化简得 ，即， 动点的轨迹的方程为 . ［素养小结］ 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将 几何条件
直接翻译成
,
的形式，即
，然后进行 等价变换. 求与椭圆有关的轨迹方程时：一般先分析能否根据条件直接判断轨 迹是什么图形,然后设出方程,利用待定系数法求解;或通过条件列出 动点坐标所满足的方程.直接列出方程就是直接法，寻求动点的坐标 与其他点的坐标的关系即为相关点法,寻求动点坐标与其他参数的关 系,消去参数得到轨迹方程即为参数法. 例1 已知的边的长为12,其他两边和 上的中线的长度 之和为30,建立适当的平面直角坐标系，求此三角形的重心 的轨迹 方程,并求顶点 的轨迹方程. 解:以的中点为原点,的方向为 轴的正方向,建立平面直角坐标 系,则,. 设,分别为, 边上的中线,则. 由重心的 ... ...
