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课件网) 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 探究点一 与双曲线有关的轨迹方程 探究点二 双曲线的标准方程 探究点三 双曲线定义的应用 探究点四 双曲线的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能直观认识双曲线的几何特征，会识别双曲线的定义和相关概念. 2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据双 曲线定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程. 3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程，能说出标准 方程中特征量的关系，能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一 些相关问题. 知识点一 双曲线的定义 1.双曲线的定义:平面内与两个定点, 的距离的_____等于 非零常数（_____）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双 曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的_____. 差的绝对值 小于 焦距 2.双曲线上动点的集合表示： _____ _____,焦距常用____表示. ， 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知两定点，，满足条件 的 动点 的轨迹是双曲线.( ) × [解析] , ，但条件中没有绝 对值，故动点 的轨迹是双曲线的一支. （2）已知两定点，，满足条件 的 动点 的轨迹是双曲线.( ) × [解析] ,， 动点 的轨迹 是两条射线. （3）已知两定点，，满足条件 的 动点 的轨迹是双曲线.( ) × [解析] ，, 动点 的轨迹 不存在. 2.说出教材P118探究中左右两图分别涉及的点、线、变量以及不变量. 解：左图中点，,，，线段,,，，变化的是点 , 线段,,不变的是点,,线段和， . 右图中点，,，，线段,,，，变化的是点 ,线段 ,,不变的是点,,线段差， . 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 图形 _____ _____ 标准方程 _ _____ _ _____ 焦点坐标 _____ _____ _____ , , 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则 的取 值范围是 .( ) √ [解析] 依题意有解得 . （2）在双曲线的标准方程中,,,的关系是 .( ) × [解析] 在双曲线的标准方程中，,,的关系是 . （3）双曲线的焦点在 轴上.( ) × [解析] 根据双曲线的标准方程的特点,可知双曲线 的焦点 在 轴上. 探究点一 与双曲线有关的轨迹方程 例1（1）（多选题）已知， ，下列说法中错误的是 ( ) A.平面内到， 两点的距离相等的点的轨迹是直线 B.平面内到， 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C.平面内到， 两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支 D.平面内到， 两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆 √ √ [解析] 设所求动点为，由题意可得 .对于A选项，由题意 可知，，则点的轨迹为线段 的垂直平分线，A中 说法正确； 对于B选项，，所以点 的轨迹为线 ，B中说法错误； 对于C选项，由题意可知，，所以点的轨迹是以， 为焦点的双曲线的一支，C中说法正确； 对于D选项，设 ，则 ，可得，所以满足条件的点 不存在，D中说法错误.故选 . （2）若动圆与圆和圆 都 内切，则动圆的圆心 的轨迹方程为_ _____. [解析] 圆的圆心为，半径 ， 圆的圆心为，半径 ， 因为，所以圆与圆外离.设圆的半径为 ， 由题意可得所以，所以圆心 的轨迹是以点，分别为上、下焦点的双曲线的下支. 设圆心 的轨迹方程为， 由题意可得 ，则，， 因此圆心 的轨迹方程为 . 变式 ［2025·厦门外国语学校高二期中］ 代数与几何是数学的两个 重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题， 可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程 的 的值为_____. [解析] 由 ， 得 ，其几何意义为 平面 ... ...
