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课件网) 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 直线与抛物线的位置关系 探究点一 直线与抛物线的位置关系 探究点二 与抛物线有关的弦长、中点弦 问题 探究点三 抛物线的综合问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.由直线与抛物线的方程，利用代数方法解决与直线和抛物线位 置关系有关的问题. 2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题. 知识点一 直线与抛物线的位置关系 设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方 程联立,整理成关于的方程 . （1）若 ,则有 判别式 位置关系 交点情况 直线与抛物线_____ _____ 直线与抛物线_____ _____ 直线与抛物线_____ _____ 相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 （2）若 ,则直线与抛物线有_____交点,此时直线与抛物线的对 称轴_____. 一个 平行或重合 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( ) × [解析] 直线与抛物线只有一个公共点,除了相切的情况外,还有直线与 抛物线的对称轴平行或重合的情况. （2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充 分条件.( ) √ 知识点二 弦长公式 若直线（斜率为且）与抛物线交于 , 两点,则_____ _____. （1）若直线过抛物线的焦点,则_____, _ ___, _____. （2）若直线过抛物线的焦点且垂直于轴,则 ____. （3）若直线过抛物线的焦点且直线的倾斜角为 ,则 _____. 探究点一 直线与抛物线的位置关系 例1 已知抛物线，过点的直线的斜率为，当 取何值时，与 有一个公共点，有两个公共点，无公共点？ 解：由题知直线的方程为，将 代入整理得 . 当时，把代入，得 ， 所以直线与抛物线只有一个公共点 . 当时， ， 由，得. 所以当或时，，与 无公共点； 当时，，与 只有一个公共点； 当且时，，与 有两个公共点. 综上，当或时，与 无公共点； 当或时，与 只有一个公共点； 当或时，与 有两个公共点. 变式 已知点和抛物线，求过点且与抛物线 有且 仅有一个公共点的直线 的方程． 解：当直线的斜率不存在时，由直线过点可知，直线 的方程为 .由得，此时直线与抛物线只有一个公共点 ． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为 ， 由消去，得 . 当时，得，即，可知此时直线与抛物线 交于点； 当时，判别式 ,由得，可知此时直线与 抛物线 有且仅有一个公共点，直线的方程为， 即 . 综上，直线的方程为或或 . ［素养小结］ 当直线与抛物线有两个交点时，设直线方程的方法如下： 若抛物线的方程为
，则设直线
的方程为
； 若抛物线的方程为
，则设直线
的方程为
. 探究点二 与抛物线有关的弦长、中点弦问题 例2 已知抛物线的焦点为，直线与交于， 两点. （1）若的倾斜角为且过点，求 ； 解：设, . 因为的倾斜角为，，所以直线 的方程为 . 由可得 ， 则，所以 . 例2 已知抛物线的焦点为，直线与交于， 两点. （2）若线段的中点坐标为，求 的方程. 解： 由,均在抛物线上， 得 , ，所以 . 因为线段的中点坐标为，所以 ， 所以，所以的斜率为 ， 所以的方程为，即 . 变式（1）若直线与抛物线交于， 两点，且 ，求实数 的值． 解：设， ， 由消去化简得， ，则 ， ， ， 又，， . （2）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于， 两点，试求弦 中点的轨迹方程． 解：设弦的中点为，并设，，的坐标分别为 ， ， ． 当直线的斜率不存在时，易得 ． 当直线的斜率存在时，，由题意得， 得 ， 又 ，所以 . 因为，即,所以 ， 即，所以（除去点 ）． 又点的坐标满足上式，故弦 中点的轨迹方程为 . ... ...
