【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.4 函数的奇偶性 讲义----2026版高中数学苏教版必修第一册

5.4　函数的奇偶性 学习任务 核心素养 1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征． 2．会判断函数的奇偶性．(重点) 3．掌握函数奇偶性的运用．(难点) 1．借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养． 2．借助函数奇、偶性的判断方法，培养逻辑推理素养． 日常生活中常见的对称现象，如美丽的蝴蝶、建筑……列举生活中对称的实例，你能发现生活中类似的数学对称美吗？ 知识点1　奇函数与偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数． (2)奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数． 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性． 具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ [提示]　定义域关于原点对称． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x的图象关于原点对称． (　　) (2)偶函数的图象一定与y轴相交． (　　) (3)若函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数． (　　) (4)奇函数的图象一定过(0，0)． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 知识点2　奇、偶函数的图象性质 (1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数． (2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数． 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) A　　　　B　　 　　C　　　 　D B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．] 类型1　函数奇偶性的判断 【例1】【链接教材P124例1、P125例2】 (1)若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)为_____函数．(填“奇”或“偶”或“既不是奇函数也不是偶”) (2)判断下列函数的奇偶性． ①f(x)＝； ②f(x)＝； ③f(x)＝； ④f(x)＝． [思路点拨]　(1)观察图象的对称性． (2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(－x)的关系． (1)偶　[因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．] (2)[解]　①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． ②函数的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数． ③由得x∈{2，－2}， 定义域关于原点对称，且f(±2)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． ④由 得 所以函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]． 此时f(x)＝＝，x∈[－1，0)∪(0，1]，所以f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． 【教材原题·P124例1】 例1判定下列函数是否为偶函数或奇函数： (1)f(x)＝x2－1；(2)f(x)＝2x； (3)f(x)＝2|x|；(4)f(x)＝(x－1)2． 解：(1)函数f(x)＝x2－1的定义域是R． 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且 f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)， 所以函数f(x)＝x2－1是偶函数． (2)函数f(x)＝2x的定义域是R． 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且 f(－x)＝2(－x)＝－2x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝2x是奇函数． (3)函数f(x)＝2|x|的定义域是R． 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且 f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)， 所以函数f(x)＝2|x|是偶函数． (4)函数f(x)＝(x－1)2的定义域是R． 因为f(1)＝0，f(－1)＝4，所以 f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1)． 因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数f(x)＝(x－1)2既不是奇函数，也不是偶函数． 【教材原题·P125例2】 例2判断函数f(x)＝x3＋5x是否具有奇偶性． 解：函数f(x)的定义域为R． 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且 f(－x)＝(－x)3＋5(－x) ＝－(x3＋5x) ＝－f(x)， 所以函数y＝f(x)为奇函数． 　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 若函数的图象关于原点 ... ...