第十四讲：幂函数知识总结与题型归纳 知识再现 1、幂函数的概念与图像 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数． 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数． 3.常用幂函数，，，，的图象如图． 4.常见的幂函数图像及性质： （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 5.对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数 （1）当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； （2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处） 题型一 幂函数概念及性质 例1.现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B 例2（多选）.下列说法不正确的是（ ） A．幂函数的图象都通过两点 B．当时，幂函数的值在定义域内随的增大而减小 C．幂函数的图象不可能出现在第四象限 D．当幂函数的图象是一条直线时，或1 解析：对于A，幂函数的图象都通过点，幂函数不过点，故A不正确； 对于B，当时，幂函数定义域为，以幂函数为例， 它在和上分别单调递减，在定义域不单调，故B不正确； 对于C，由幂函数的性质可知幂函数图象不可能出现在第四象限，故C正确； 对于D，当时，幂函数的图象是一条直线， 但不过点，故D不正确.故选：ABD. 例3.（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ） A． B． C． D．无解 解析：由已知可得，解得或.故选：BC. 例4.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 解析：是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 例5．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ） A． B． C． D． 解析：幂函数的图像过点，，解得， ， 的值域是.故选：D. 例6.幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 解析：设，代入点得， 则，令， 函数的值域是.故选：C. 题型二： 幂函数图象的判断及应用 例7.幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 解析：根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 例8.已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ） A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且 C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且 解析：由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定， 又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D. 例9.给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ） A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 解析：图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减 ... ...
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