24.2 解一元二次方程 2025-2026学年数学冀教版九年级上册

(课件网) 24.2 解一元二次方程 第二十四章 一元二次方程 课时1 配方法 3.体会转化、降次的数学思想方法. 2.会用配方法解一元二次方程. 1.会用直接开平方法解一元二次方程. 学习目标 1.一个正数4有（ ）个平方根，是（ ）. 0有（ ）个平方根，是（ ）. 负数-4（ ）平方根. 2 ±2 1 0 没有 是学习新知的必备条件哦 新课导入 2.将下列各式补成完全平方式 ①x2+4x+____ ②x2-6x+____ ③x2-10x+___ ④x2+x+____ ⑤x2+3x+____ ⑥x2-0.5x+____ 4 9 25 0.25 填空的规律是什么？ 二次项系数为1时，只需把常数项填成一次项系数一半的平方. 解下列方程 (1)x2=4 4的平方根是±2 ∴x=±2 (2)(x-1)2=4 解：x-1=±2 即x-1=2 或 x-1=-2 ∴x=3 或 x=-1 看做整体，则(2) 转化为（1） x-1的值互为相反数 x的值不是相反数 请用这种方法解方程(x+3)2=1 x=-2或x=-4 (3)3(x-1)2=12 (2)(x-1)2=4 （3）可以转化为方程（2）吗？ 解：方程两边同除以3得 (x-1)2=4 x-1=±2 ∴x-1=2或x-1=-2 ∴x=3或x=-1 (4)(x+10)2=-2 解：由于负数没有平方根 即没有任何数的平方等于-2 ∴原方程无解. 这种解一元二次的方程的方法叫做直接开平方法 一、直接开平方法 1.概念：对于等号左边是平方形式，右边是一个常数的一元二次方程，可用平方根的意义在方程两边直接开平方，求得方程的解，这种解一元方程的方法叫做直接开平方法. 新课讲授 (1)x2=4 2.用直接开平方法解一元二次方程的根的情况有三种 (2)x2=0 (3)x2=-4 x=±2 x=0 无解 方程有两个不相等的根 方程有一个根 方程没有根 也叫有两个相等的根 3.直接开平方法的一般步骤 ① ② ③ 将括号前的常数变为1 直接开平方 解一元一次方程，得出x 二次化为一次 降次 一定有解吗？ 二、探究用配方法解一元二次方程 解方程 (1) x2-2x+1=4 能转化为你会做的形式吗？ 原方程可化为(x-1)2=4 (x-1)2 用直接开平方法即可 解方程 (2) x2-2x=3 分析：能转化为（1）吗？ 方程两边同时加1即可 x2-2x+1=3+1 转化为(1) x2-2x+1=4 二、探究用配方法解一元二次方程 解方程 ：(3) x2-8x-2=0 移项，得 x2-8x=2 配方，得 x2-8x+16=3+16 即(x-4)2=18 ∴x-4=3√2或x-4=-3√2 开平方，得 x-4=±3√2 只有常数项在右边 同加一次项系数一半的平方 化为一次方程 解一次方程 这种解一元二次方程的方法就做配方法. 三、配方法 1.概念：通过配方，把一元二次方程变形为一边含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意：由于配方法是通过变形，将一元二次方程最终转化为用直接开平方去解，因此用配方法解一元二次方程也会出现3种结果.即方程有两个不相等的根；或一个根；或没有根. 新课讲授 用配方法解方程 2x2+3=6x 与之前的3个方程有何不同？怎样转化为相同？ 方程 (1) x2-2x+1=4 方程 (2) x2-2x=3 方程 (3) x2-8x-2=0 解：将二次项的系数化为1，得 移项，得 配方，得 只需多一步，即让a=1 典例精析 用配方法解一元二次方程的步骤. 1.将方程的二次项系数化为1；（方程两边同除以a） 2.移项；（只有常数项在等号的右侧） 3.配方；（方程两边同加b的一半的平方） 4.化为(x-m)2=n (m,n是常数，n≥0)的形式； 5.开平方求得方程的根. 归纳总结 1.用配方法解下列一元二次方程 (写到练习本上，步骤要规范哦） (1)5x2-7y+2=0 练一练 5 结果要注意什么？ 两个非负数的和不能为负 考查到哪个知识点？ 一个正数的两个平方根互为相反数 4 1．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是(　　) A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5 C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5 A 当堂检 ... ...