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课件网) 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量数量积的定义、投影向量 探究点一 向量的夹角 探究点二 平面向量的数量积 探究点三 平面向量的投影向量 探究点四 平面向量数量积的基本性质 【学习目标】 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理 意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义， 体会平面向量数量积与投影向量的关系. 知识点一 向量的夹角 1.定义：如图，已知两个_____，， 是平面 上的任意一点，作，，则 _____叫作向量与 的_____． 非零向量 夹角 2.特殊情况： （1）当___时,与同向;当___时,与 反向. （2）向量垂直:如果与的夹角是__,我们说与 垂直,记作_____. 0 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）已知向量与的夹角为,则向量与的夹角为 .( ) √ [解析] 与同向,与反向, 向量与的夹角和与 的 夹角互补, 向量与的夹角为 . （2）在等边三角形中，设，，则与 的夹角为 .( ) × [解析] 由向量夹角的定义知，与的夹角为 . 2.向量的夹角的几何意义是什么 向量的夹角的取值范围是什么 解：向量的夹角是指将两个非零向量平移到相同的起点后,它们的正 向所成的角.向量的夹角的取值范围是 . 知识点二 向量的数量积 条件 已知两个非零向量与，它们的夹角为 结论 数量_____叫作向量与 的数量积（或内积） 记法 向量与的数量积记作，即 _____ 规定 零向量与任一向量的数量积为___ 0 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）两个向量的数量积仍然是向量．( ) × （2）若，则与 的夹角为钝角．( ) × （3）若，则 .( ) × 2.向量的数量积与向量的数乘的区别是什么？ 解：向量的数量积是一个实数，不考虑方向；向量的数乘是一个向 量，既有大小，又有方向． 知识点三 向量在 上的投影向量 1.投影与变换：如图，设， 是两个非零向量， ，，过的起点和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为，，得到 ， 称上述变换为向量向向量_____，叫作向量 在向量 上的_____． 投影 投影向量 2.投影向量的定义：如图，在平面内任取一点，作 ， ，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量 在 向量 上的_____. 投影向量 3.计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为_____. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若,,与的夹角为 ,则在 上的投影向量为 .( ) √ [解析] 在上的投影向量为 . （2）向量在上的投影向量与共线，且模为（ 是与 的夹角）.( ) √ [解析] 向量在上的投影向量为，它与 共线，且模为 （ 是与 的夹角）. 知识点四 数量积的性质 设,是非零向量,它们的夹角是 ,是与 方向相同的单位向量，则 （1） _____. （2） _____. （3）当与同向时,_____;当与反向时, _____. 特别地,_____或 _____. （4） ,当且仅当_____时等号成立. （5） _ ____. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）对任意向量，均有 .( ) × （2）若，则 .( ) √ （3）设非零向量与的夹角为 ,则“ ”的充要条件是“ ”.( ) √ 探究点一 向量的夹角 例1 已知,且与的夹角为 ,则与 的夹角是多 少 与 的夹角又是多少 解：如图所示，作， ，且 . 以，为邻边作 ，连接 ，，则， . 因为， ,所以是等边三角形， 四边形 是菱形，所以与的夹角为 ，与的夹角为， 即 与的夹角是 ，与的夹角是 . 探究点二 平面向量的数量积 例2 已知，，分别求下列条件下与 的数量积. （1） ； 解：设与的夹角为 . 当时，若与同向，则 ， ； 若与 反向，则 ， . （ ... ...
