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课件网) 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量数量积的运算律 探究点一 向量数量积的运算律 探究点二 求向量的数量积 探究点三 向量模、夹角的计算问题 探究点四 两个非零向量的垂直问题 【学习目标】 理解平面向量数量积的运算律,会用数量积判定两个平面向量的 垂直关系. 知识点一 数量积的运算律 对于向量，，和实数 ，有 （1） _____（交换律）． （2）_____ _____（结合律）． （3） _____（分配律）． 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） .( ) √ （2） .( ) × （3） .( ) √ 知识点二 数量积运算的常用公式 多项式乘法 向量数量积 探究点一 向量数量积的运算律 例1 （多选题）设,, 是不共线的非零向量,则下列结论正确的是 ( ) A. B.不与 垂直 C. D. √ √ √ [解析] 根据向量数量积的分配律知A正确; 因为 , 所以与垂直,B错误; 因为非零向量, 不共线,所以,,可作为三角形的三边长, 所以 ,C正确;易知D正确.故选 . 变式 （多选题）将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比， 下列结论正确的是( ) A. B. C. D.由，可得 [解析] 平面向量的数量积运算满足交换律和分配律，不满足结合律， 故A，C正确，B错误；由，得 ， 从而或，故D错误.故选 . √ √ 探究点二 求向量的数量积 例2（1） 已知，，且向量与的夹角为 ，求 . 解： . （2）在中，是的中点，，，求 的值. 解： ， ， . 变式（1） 已知向量,,满足，， ， 则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ，即 ，即，整理得 ， 所以 .故选C. √ （2）[2024·大连育明中学高一期中] 如图， 四边形为平行四边形， ， ，点，满足， ， 求 的值. 解：由题意， ， ， 所以 ， 因为,，所以 . ［素养小结］ （1）求两个向量的数量积，应首先确定两个向量的模及夹角，其中 准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键． （2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似 于多项式的乘法运算． 探究点三 向量模、夹角的计算问题 例3 已知向量，满足，，且与的夹角为 . （1）求 ; 解： . （2）求与 的夹角. 解：设与的夹角为 ，则 ， ， ， ，又， ，即与 的 夹角为 . 变式（1） [2024·合肥一中高一期中] 非零向量， 满足 ，若，则， 的夹角为__ . [解析] 非零向量，满足，且， 设， 的夹角为，则，且 ， ，.， . （2）如图，在中，已知, , ，，边上的中线， 相 交于点，求 . 解：因为，分别为， 边上的中线， 所以点为的重心，则 . 设，，则 ，所以 ， 故 . ［素养小结］ 求平面向量的模和夹角时要注意数量积运算律的正确运用，在解决 与图形有关的模与夹角问题时要注意选择合适的向量表示及公式的 正确计算. 探究点四 两个非零向量的垂直问题 例4 已知非零向量,满足,与的夹角的余弦值为 , 若,则实数 的值为( ) A.4 B. C. D. [解析] 设与的夹角为 ,则 ,所以 . 因为,所以 ,即, 即,所以,解得 ,故选B. √ 变式 [2024·北京房山区高一期中] 若向量,满足， ， 且，则向量与 的夹角为( ) A. B. C. D. [解析] 设向量与的夹角为 ，由 ，得 ，解得 ，因为 ，所以 ，故选B. √ ［素养小结］ 解决与垂直有关的问题时要利用（， 均为非零 向量）． 拓展 已知和是平面内的两个单位向量，且与的夹角为 ，若向 量满足，则 的最大值是_ _____. [解析] 设,,,连接，， ，则 , ,因为,所以 ， 即，所以在以为直径的圆上. 设的中点为，连接 ，因为和是平面内的两个单位向量， 且与的夹角为 ,所以 ， ，故 . 1.数量积对结合律一般不成立，因为是一个与 共线的向量， 而是一个与 共线的向量，两者一般不同． 2. 多项式乘法 向量数量积 3.类比实数运算律:在实数中,若,,则 ,但是 ... ...
