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课件网) 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 探究点一 向量在几何中的应用 探究点二 向量在物理中的应用 【学习目标】 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题,以及其他实 际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 知识点一 向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用_____表示问题中涉及的几何 元素，将平面几何问题转化为_____； （2）通过_____，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题； 向量 向量问题 向量运算 （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 2.平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由 _____表示出来. 向量的线性运算及数量积 （1）证明线线平行或三点共线问题，常用向量平行（共线）的条 件： _____ _____ . （2）证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件: _____ _____ . （3）求夹角问题,主要应用向量的夹角公式 _ _____ _ _____ . （4）求线段的长度或说明线段相等，可以利用向量的模：| _____或 _____ . 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若为直角三角形，则 .( ) × [解析] 哪个角是直角不确定. （2）若向量，则 .( ) × [解析] 和 可能在同一条直线上. （3）在四边形中，若， ，则四边形 为菱形．( ) √ 知识点二 向量在物理中的应用 1.向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是 _____的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加 法的_____法则与位移的合成、力的合成、速度的 合成有着密切的联系. 既有大小又有方向 三角形和平行四边形 2.用向量法解决物理问题的一般步骤: ①问题的转化:把物理问题转化成数学问题. ②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. ③参数的获取:求出数学模型的相关解. ④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象. 【诊断分析】用向量法求解物理问题的过程中,在给出答案时除了要 考虑向量本身的意义,还要考虑什么 解：还要考虑所给出的结果是否符合实际意义. 探究点一 向量在几何中的应用 角度1 平行（共线）问题 例1 已知在中, ,, . （1）若为斜边的中点,求证: ; 证明:以为坐标原点,以边, 所在的直线分别 为轴、 轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则, 为的中点, , , ,则, , ,即 . （2）若为的中点,连接并延长交于点,求 的长度 （用, 表示）. 解：为的中点,,. 设 ,则 . ,,三点共线, 可设 , 即,则 , ,故,, ,则 , ,即 . 变式 已知平面四边形的四条边，，， 的中点依次 为，，，，且，则四边形 的形 状一定为( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形 √ [解析] 连接，由题意结合中位线定理可得， ， ，，所以，，所以四边形 为平行四边形. 连接，因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以，所以 ， 即，则，所以， 又 ，所以， 同理，由中位线定理可得，所以 ，故四边形 为矩形.故选C. 角度2 垂直问题 例2 在直角梯形中，， ， ，求证： . 证明：方法一: ， ，， 可设 ，，则， , ， ， 则， ，即 . 方法二：如图，以 为坐标原点，建立平面 直角坐标系， 设，则，， ， ， ， ， ，即 . 变式 点在 所在的平面内，若 ，则为 的( ) A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 √ [解析] 分别取的中点D，的中点 ，作出 直线， ，如图所示， 则， ， 由得 ， 所以，所以垂直平分线段 . 由得,所以， 所以 垂直平分线段，所以点为 的外心.故选D. ［素养小结］ 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、长度等问 题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一 个基底，利用基底表示涉及的向量；另一种思路 ... ...
