1.1.1 空间向量及其运算 导学案（2课时）（含答案） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.1.1 课时2 空间向量的数量积运算 【学习目标】 1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念，理解投影的概念.(数学抽象) 2.理解空间向量的数量积的运算律(交换律和分配律)，并可以与数的乘法相联系与区别.(数学运算) 3.可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些 2.空间向量的线性运算满足哪些运算律 3.空间向量夹角的取值范围是多少 如何定义空间向量的垂直 4.类比平面向量的数量积的定义，如何定义空间向量的数量积运算 5.类比平面向量的数量积的运算律，空间向量的数量积运算满足哪些运算律 6.数量积运算能否判断两个向量的平行或者垂直关系，能否用来求角 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是实数. （ ） (2)对于非零向量a，b，与相等. （ ） (3)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)·c=a·(b·c). （ ） (4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. （ ） 2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|=|b|=1，a·b=-，则两直线的夹角为（ ）. A.30° B.60° C.120° D.150° 3.(人教B版选择性必修第一册P12练习BT4改编)(多选题)已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示.若E，F分别是OA，OC的中点，则下列结论正确的是（ ）. A.·=- B.·= C.·=- D.·=- 4.已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a=2i-j+k，b=i+j-3k，则a·b=_____. 【合作探究】 探究1空间向量的夹角 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角. 为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了向量“数量积”的概念. 问题1：θ是哪两个量的夹角 问题2：任意两个向量的数量积是向量吗 两个向量的数量积一定是非负数吗 问题3：如图所示，空间四边形的各边和对角线长均等于1，E是BC的中点，则下列说法正确的有哪些 (1)·<0；(2)·=·；(3)·=·. 问题4：若两个向量的夹角为0或π，则这两个向量分别是什么关系 1.定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则_____叫作向量a，b的夹角，记作_____. 2.范围：∈_____.特别地，当=0时，两个向量a，b同向共线，当=_____时，两个向量a，b反向共线，所以若a∥b，则=_____；当=时，两个向量a，b互相_____，记作_____. 例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)求与夹角的大小； (2)求与夹角的大小. 【方法总结】求两个向量夹角的方法 先根据题设条件将一个向量平移到另一个向量所在的平面内，然后解三角形求解. 已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·=0，·=0，·=0，M为BC的中点，则与的夹角是_____. 探究2空间向量数量积及其性质 问题1：两个向量的数量积与数乘向量有何不同 问题2： “若a·b=a·c，则b=c”，这种说法正确吗 问题3：数量积的运算不满足结合律吗 已知两个_____向量a，b，则_____叫作向量a，b的数量积(内积)，记作a·b，即a·b=_____.零向量与任意向量的数量积为_____，即0·a=_____ a⊥b _____；a·a=|a||a|cos=_____=_____ (λa)·b=_____(λ∈R) a·b=b·a(交换律) (a+b)·c=_____(分配律) 例2：如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，E，F分别是OA，OC的中点.求下列向量的数量积： (1)·； (2)·； (3)(+)·(+). 【变式设问】若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长. 【方法总结】在几何体中，求空间向量的数量积的步骤： (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)代入公式a·b=|a||b|cos求解. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是棱BC上的动点，P是棱B1C1 ... ...