【学霸笔记：同步精讲】第一章 §3 3.1 不等式的性质 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

§3　不等式 3.1　不等式的性质 学习任务 核心素养 1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．(重点) 2．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点) 1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养． 1．如何比较两个实数的大小 2．等式的基本性质有哪些 3．不等式的基本性质有哪些 知识点1　实数a，b大小比较的基本事实 1．文字叙述 如果a－b是正数，那么a_____b；如果a－b等于0，那么a_____b；如果a－b是负数，那么a_____b，反过来也成立． 2．符号表示 a－b>0 a_____b；a－b＝0 a__b； a－b<0 a_____b． 1．(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1时，m3与m2－m＋1的大小关系为_____． 知识点2　不等式的性质 性质1：如果a>b，且b>c，那么_____． 性质2：如果a>b，那么a＋c_____b＋c． 性质3：(1)如果a>b，c>0，那么ac__bc； (2)如果a>b，c<0，那么ac_____bc． 性质4：如果a>b，c>d，那么a＋c_____b＋d． 性质5：(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac_____bd； (2)如果a>b>0，cb>0时，_____，其中n∈N+，n≥2． 2．(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗 (2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗 _____ _____ _____ _____ 2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a 　　 B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a 　　 D．a>b>－a>－b 3．下列命题正确的是(　　) A．a>b，c≠0 ac2>bc2　 B．ab且cb＋d　 D．a>b a2>b2 4．若a>b>0，n>0，则_____．(填“>”“<”或“＝”) 类型1　数式的大小比较 【例1】　【链接教材P25例1】 (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (2)已知a>0，试比较a与的大小． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　1．利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． 注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 2．作商法比较大小 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1．方法图示如下： 依据 a>0，b>0 >1 a>b； ＝1 a＝b； <1 a1 ab 应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论 [跟进训练] 1．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 2．已知a，b为正实数，试比较的大小． _____ _____ _____ _____ _____ 类型2　不等式的性质 【例2】　【链接教材P25例2，P26例3】 (1)对于实数x，y，z，下列结论正确的是(　　) A．若x>y，则xz2>yz2 B．若yxy>y2 (2)若c>a>b>0，求证：． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　1．利用不等式的性质判断正误的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 2．利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明 ... ...