【学霸笔记：同步精讲】第一章 §4 4.2 一元二次不等式及其解法 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

4.2　一元二次不等式及其解法 学习任务 核心素养 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点) 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(难点) 1．通过对一元二次不等式的学习，培养数学抽象和直观想象素养． 2．借助一元二次不等式解集的求解，培养数学运算能力． 1．一元二次不等式的概念是什么 2．一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系 3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么 知识点1　一元二次不等式的概念 1．定义：一般地，只含有_____未知数，并且未知数的最高次数是_____的不等式叫作一元二次不等式． 2．一般表达式：_____，或__， 或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中a，b，c均为常数，且a≠0)． 3．解集：使一元二次不等式成立的 的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 1．(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗 (2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗 _____ _____ _____ _____ _____ _____ 1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0．其中一定为一元二次不等式的有_____．(填序号) 知识点2　一元二次不等式的求解方法 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0的解集之间的关系： y＝ax2＋bx＋c(a>0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝ (x10的解集 {x|xx2} R 不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x10的解集为R，a，b，c满足的条件是什么 (2)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ，a，b，c满足的条件是什么 _____ _____ _____ _____ 2．不等式x(x－2)>0的解集为_____，不等式x(x－2)<0的解集为_____． 3．不等式3x2－2x＋1>0的解集是_____． 类型1　一元二次不等式的解法 　二次项系数大于0 【例1】　【链接教材P37例2】 解不等式x2－5x－6>0． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ 　二次项系数小于0 【例2】　解不等式－2x2＋3x＋2≤0． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　一元二次不等式的一般解题步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根； (3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集． [跟进训练] 1．解不等式x2>2x－1． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型2　含参数的一元二次不等式的解法 【例3】　【链接教材P38例4】 解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论： (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向． (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数． (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小． 简记为“一a，二Δ，三两根大小”． 最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集． [跟进训练] 2．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型3　三个“二次”关系的应用 【例4】　(1)若不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab＝(　　) A．－28　 B．－26 　 C．28　 D ... ...