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课件网) 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 探究点一 求异面直线所成的角 探究点二 证明空间中两条直线垂直 【学习目标】 1.理解异面直线所成的角. 2.掌握异面直线所成的角、两条直线垂直的判断与性质. 知识点一 异面直线所成的角 1.两条直线所成的角 平面内两条直线相交形成4个角，其中_____的角称为这两条直 线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线_____ _____.当两条直线, 相互平行时，我们规定它们所成的角为___. 不大于 倾斜的程度 2.异面直线所成的角 已知两条异面直线,,经过空间任一点分别作直线, ,我们把 _____叫作异面直线与 所成的角（或夹角）,如图所示. 直线与所成的 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）在异面直线所成的角的定义中，与所成的角的大小与 的 选择有关.( ) × [解析] 与所成的角的大小只由,的相互位置来确定，与 的选 择无关. （2）在空间中，存在两条异面直线所成的角为 .( ) × [解析] 两条异面直线所成的角 的取值范围是 . 2.设异面直线,所成的角与异面直线,所成的角相等，试判断, 的位置关系. 解：如图所示，在正方体 中， 异面直线,所成的角与异面直线, 所成 的角相等，此时, 为相交直线； 异面直线, 所成的角与异面直线, 所 成的角相等，此时,为平行直线； 异面直线,所成的角与异面直线 ,所成的角相等，此时 , 为异面直线.故, 的位置关系为相交、平行或异面. 知识点二 异面直线互相垂直 1.如果两条异面直线所成的角是_____，那么我们就说这两条异面直 线互相垂直. 2.直线与直线 垂直，记作_____. 直角 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）在长方体中，异面直线与 相互垂直. ( ) √ [解析] 因为，所以为异面直线与 所成的角， 因为 ，所以异面直线与 相互垂直. （2）若,为两条异面直线，且，，则, 不可能是平行 直线.( ) × [解析] 在正方体中，与 为异面直 线，，，此时 . 2.讨论垂直于同一条直线的两条直线的位置关系. 解：如图，在正方体 中， ，，此时 ； ，，此时， 相交； ，，此时, 异面. 综上可知，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相 交或异面. 探究点一 求异面直线所成的角 例1 如图，在正方体中，为 与 的交点，求： （1）与 所成的角； 解： ， 或其补角是异面直线与 所成的角. 在中，， ， 与所成的角为 . （2）与 所成的角. 解：如图，连接，在正方体 中，，， 四边形 是 平行四边形， ， 或其补角是与所成的角. 连接 ，易知 是等边三角形， 又是的中点， ， 与所成的角为 . 变式（1） [2024·菏泽一中高一月考]如图，在正 三棱锥中，,分别为, 的中点， 则异面直线与 所成的角为( ) A. B. C. D. [解析] 因为,分别为, 的中点， 所以，则或其补角即为异面直线与 所成的角. 因为三棱锥为正三棱锥，所以是等边三角形， 故 ，故异面直线与所成的角为 .故选A. √ （2）在直三棱柱中，，， ， ，分别是和的中点，则异面直线与 所成的角为 ____. [解析] 如图，取的中点，连接 ， ， ，分别为， 的中点， ，则 （或其补角）为异面 直线与所成的角. 取的中点 ，连接，， 则且 ， 又且， 四边形 为平行四边形，. 在中，由，， ， 得，则， ， ， ， 则， ， 则， , 即异面直线与所成的角为 . ［素养小结］ 求两条异面直线所成的角的一般步骤： （1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线， 作出异面直线所成的角（或其补角）. （2）计算角：一般在三角形中求角的大小. （3）确定角：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所 成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线 ... ...
