4.4 数学归纳法（课件 学案 练习）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

4.4*　数学归纳法 【课前预习】 知识点 正整数n　n0(n0∈N*)　k+1 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)与正整数n有关的数学命题也可以用其他方法证明. (2)数学归纳法证明的第一步中n的初始值n0应根据命题的具体情况来确定,不一定是1.如用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n-2)·180°时,应取其初始值n0=3. (3)第一步是基础,第二步利用假设进行推理是关键,两个步骤缺一不可. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)当n=1时,1+a+a2=,在验证n=1时,左边所得的项为1+a+a2.故选C. (2)当n=k(k≥2,k∈N*)时,可得++…+>,当n=k+1时,可得++…+++>,故由n=k递推到n=k+1时,不等式左边增加了+-.故选C. 变式　D　[解析] 增加的项为+++…+,共2k项. 探究点二 例2　证明:①当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立. ②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即有++…+=, 则当n=k+1时,++…++=+====,所以当n=k+1时,等式也成立. 由①和②可知,对任意n∈N*,等式都成立. 变式　证明:①当n=1时,左边=1-=,右边=,所以等式成立. ②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1-+-+…+-=++…+成立, 那么当n=k+1时, 1-+-+…+-+-=++…++-= ++…+++= ++…++, 所以当n=k+1时,等式也成立. 综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立. 例3　证明:(1)当n=1时,左边=1+=,右边=+1=,即当n=1时,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即1+++…+≤+k,则当n=k+1时,1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1),即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)得,不等式对所有的n∈N*都成立. 变式　解:(1)∵f(1)=12=1,g(1)=21=2,∴f(1)g(3),>1. ∵f(4)=45=1024,g(4)=54=625,∴f(4)>g(4),>1. (2)猜想:当n≥3,n∈N*时,有>1. 证明:①当n=3时,猜想显然成立. ②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时,猜想成立,即=>1. 当n=k+1时,==·>. ∵(k+1)2=k2+2k+1>k(k+2)>0, ∴>1,则>1,即>1, ∴当n=k+1时,猜想成立. 由①②知,当n≥3,n∈N*时,有>1. 例4　解:(1)因为an==-,所以S1=-1,S2=-+-=-1, S3=-+-+-=-1=1,S4=-+-+-+-=-1. (2)猜想Sn=-1,n∈N*,下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,S1=-1=-1,猜想成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,则有Sk=-1, 则当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=-1+-=-1,所以当n=k+1时,猜想也成立. 由①②可知,对任何n∈N*,均有Sn=-1. 变式　解:(1)∵对于任意n∈N*,都有Sn=+成立, ∴S1=+,∴a1=S1=1. ∵S2=+,即a1+a2=2+,∴a2=2.∵S3=+,即a1+a2+a3=+,∴a3=3. (2)猜想an=n(n∈N*). 证明:①当n=1时,a1=1,猜想显然成立; ②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=k, 则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=+--=+--, ∴ak+1=k+1,即当n=k+1时,猜想也成立. 由①②可知,an=n对一切n∈N*都成立. 例5　证明:(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除. (2)假设当n=k(k∈N*)时, an+1+(a+1)2n-1=ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1,其中ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,所以a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除,所以a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,即当n=k+1时,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.由(1)(2)知,an+1+(a+1)2n-1(n∈N*)能被a2+a+1整除. 变式　解:f(1)=9×3+9=36,f(2)=11×9+9=108,所以f(1),f(2)的最大公约数为36,猜想:对任意的n∈N*,f(n)能被36整除. ①当n=1时,猜想显然成立; ②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,即存在t∈N*,使得f(k)=(2k+7)·3k+9=36t, 则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9=3(2k+7)·3k+2·3k+1+9=3(36t-9)+2·3k+1+9=108t+2·3k+1-18=108t+18(3k-1-1), 因为3k-1为奇数,所以3k-1-1为偶数,则18(3k-1-1)能被36整除,所以f ... ...