5.1.1 变化率问题（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册

第五章　一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 【课前预习】 知识点一 1. 2.(1)某一时刻　(3) 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)平均速度为0,并不能保证瞬时速度为0. (2)也可能有h(t0+Δt)≤h(t0). (3)瞬时速度是刻画物体在某一时刻速度的物理量. (4)Δt可正可负,但不能为0. 2.解:因为Δh=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,所以平均速度==10+5Δt. 3.解:当Δt趋近于0时,趋近于10,这时的平均速度即为t=1时的瞬时速度. 知识点二 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×　[解析] (3)=(3Δx+5)=5. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由已知得,物体开始运动后3 s内的平均速度为=-15(m/s). (2)由已知得,物体在2 s到3 s内的平均速度为=-25(m/s). 变式　解: (1)物体在0≤t≤这段时间内的平均速度===. 物体在≤t≤这段时间内的平均速度===. (2)由(1)可知-=>0,所以<.作出函数s(t)=sin t,t∈的图象,如图所示,可以发现,在上,随着t的增大,函数值s(t)变化得越来越慢. 探究点二 例2　(1)A　(2)2　[解析] (1)Δy=-(3+Δt)2+9(3+Δt)-(-9+27)=-9-(Δt)2-6Δt+27+9Δt+9-27=-(Δt)2+3Δt,所以==-Δt+3,所以物体在t=3 s时的瞬时速度为=3(m/s).故选A. (2)∵Δs=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2, ∴=4a+aΔt,则该质点在t=2 s时的瞬时速度为=4a(m/s).由题意得4a=8,∴a=2. 变式　(1)①1 m/s　②3 m/s　③-1 m/s　(2)2　[解析] (1)①此物体在t=0 s到t=2 s时的平均速度===1(m/s). ②此物体的初速度v0===(3-Δt)=3(m/s). ③此物体在t=2 s时的瞬时速度v====(-Δt-1)=-1(m/s). (2)设物体在t=t0 s时的瞬时速度为12 m/s,则= =(-3Δt+24-6t0)=24-6t0=12,解得t0=2. 探究点三 例3　解:(1)由题意得,割线AB的斜率为===-3-Δx.由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2,又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞). (2)曲线y=x2过(1,1),(1+Δx,(1+Δx)2)两点的割线的斜率为=Δx+2,所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线的斜率为(Δx+2)=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 变式　解:(1)曲线y=f(x)过(4,f(4)),(4+Δx,f(4+Δx))两点的割线的斜率为=19+2Δx. (2)由(1)知,曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线斜率为(19+2Δx)=19,又f(4)=39,所以所求切线方程为y-39=19(x-4),即19x-y-37=0. 拓展　2　[解析] 由题意得= ==(aΔx+2a)=2a=2,所以a=1,又f(1)=a+b=1+b=3,所以b=2,所以=2.第五章　一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 1.D　[解析] Δy=f(x0+kΔx)-f(x0).故选D. 2.C　[解析] ==2+Δx,故选C. 3.A　[解析] 当t=2时,位移为×22+2×2=6(m),当t=4时,位移为×42+2×4=16(m),所以在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为=5(m/s).故选A. 4.D　[解析] 表示从时刻t到t+Δt时物体的平均速度,而表示该物体在t时刻的瞬时速度,故选D. 5.C　[解析] 设f(x)=3x2,则曲线y=3x2在点(1,3)处的切线斜率为===(3Δx+6)=6,故选C. 6.B　[解析] 初速度即为t=0时的瞬时速度,由题知===3-Δt,则当Δt趋近于0时,趋近于3,故它的初速度为3. 7.C　[解析] 由题意知,汽车在时间段[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]上的平均速度的大小分别为,,,,设路程y与时间t的函数关系为y=f(t),则=,即为经过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率k1,同理,为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线的斜率k2,为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率k3,为经过点(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率k4,如图, 由图可知,k3最小,即最小.故选C. 8.A　[解析] f(x)=3x+x2的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率k==5,又f(1)=4,所以切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1. 9.BCD　[解析] 对于A,= =(3+Δt)=3,即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s,A错误.对于B,==(1+Δt)=1,即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s,B ... ...