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课件网) 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义 第1课时 导数的概念 探究点一 平均变化率 探究点二 导数的定义 探究点三 导数定义的应用 【学习目标】 1.能通过实例分析,说出导数概念的实际背景. 2.了解导数的概念,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵 与思想. 知识点 导数的概念 1.平均变化率：对于函数,设自变量从变化到 ，相应地，函 数值就从变化到，这时，的变化量为， 的变化量为 .比值_____叫作函数从 到 的平均变化率. 2.导数的概念:如果当时,平均变化率无限趋近于一个_____的值,即 有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫作在 处的导数（也称为瞬时变化率）,记作_____或,即 _____. 确定 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）是函数在 附近的平均变化率.( ) × [解析] 是函数在 处的瞬时变化率. （2）函数在区间， 上的平均变化率相等.( ) × [解析] 设函数在区间，上的平均变化率分别为, ，则 ，, . （3）函数在处的导数与 有关.( ) × [解析] 函数在处的导数与 无关. （4）设,则,当趋近于0时,趋近于 ,因此, .( ) √ 2.可以反映函数 变化的什么特征 解：可以反映函数在 处变化的快慢程度. 探究点一 平均变化率 例1（1） 函数在 上的平均变化率是( ) C A. B. C. D. [解析] 由题意得平均变化率为 ，故选C. （2）函数的图象如图所示，则函数在 ，， 这三个区间内，平均变化率最大的区间是_____. [解析] 由平均变化率的定义可知，函数在区间， ， 内的平均变化率分别为，， ，结合图象可 以发现函数的平均变化率最大的区间是 . 变式（1） （多选题）下列函数在区间 上的平均变化率是正数的有 ( ) ABC A. B. C. D. [解析] 对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误.故选 . （2）若函数在区间上的平均变化率为5，则 ___. 3 [解析] 因为函数在区间 上的平均变化率为5，所以 ，解得 . ［素养小结］ 求函数在区间 上的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量 ; （2）计算平均变化率 . 探究点二 导数的定义 例2（1） [2024·北京大兴区高二期中]若函数，则 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为 ，所以 .故选B. （2）设函数，若，则 ( ) A A.2 B. C.3 D. [解析] ，且 ， .故选A. 变式（1） [2024·广东五校高二联考]函数在 处的导数为 ( ) A A.7 B. C.2 D. [解析] 因为 ，所以 ，故 .故选A. （2）[2024·河南驻马店高二期中]已知函数，若 ，则 ( ) D A.2 B. C.5 D.10 [解析] 因为 ，所以 ，故选D. ［素养小结］ 利用导数的定义求在 处的导数的步骤: （1）求函数值的增量 ; （2）求平均变化率 ; （3）求极限 . 探究点三 导数定义的应用 例3 一质点做直线运动,已知在时,质点的位移（单位: ）满足 . （1）求质点在 这段时间内的平均速度; 解：因为 ,所以 ,所以质点在 这段 时间内的平均速度 . （2）求质点在 时的瞬时速度,并说明它的意义. 解：因为，所以质点在 时的瞬时 速度为,说明在第附近,质点的位移每秒大约减少 . 变式 一杯的热红茶置于室温为 的房间里,红茶的温度会逐渐下降,温 度（单位:）与时间（单位:）之间的关系由函数 给出. （1） 是正数还是负数 有什么实际意义 解：,的意义为在第时红茶的温度的瞬时变化率, 为负数, 说明在第 附近红茶的温度降低. （2） 的实际意义是什么 解：的实际意义是在第附近红茶的温度以 的速率下降. ［素养小结］ 是函数在处的瞬时变化率,是函数值在 附近增加（或减小） 的大小. 拓展 我们知道,在给气球充气时,开始充气时膨胀速度较快,随后膨胀速度将逐 渐缓慢下来,气球膨胀实际上就是气球半径增大,表面积增大,体积增大.将气球看 ... ...
