(
课件网) 5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 探究点一 幂函数的导数 探究点二 利用导数公式求函数的导数 探究点三 导数公式的应用 探究点四 利用导数公式解决切线问题 【学习目标】 掌握基本初等函数的导数,能根据导数的定义求函数为常数, , ,,, 的导数. 知识点一 几个常用函数的导数 1.函数的导数是 ___. 2.函数的导数是 ___. 3.函数的导数是 ____. 4.函数的导数是 _____. 5.函数的导数是 _____. 6.函数的导数是 ____. 0 1 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知函数，则 .( ) × [解析] 因为，所以，所以 . （2）若，则 .( ) × [解析] . 知识点二 基本初等函数的导数公式 1.若为常数,则 ___. 2.若，且,则 _____. 3.若,则 _____. 4.若,则 _____. 0 5.若,且，则 _____； 特别地，若，则 ____. 6.若，且，则 _____； 特别地，若，则 __. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若,则 .( ) √ （2） .( ) × [解析] . （3）若，则 .( ) × [解析] 若，则 . （4）已知,则 .( ) × [解析] 因为是常函数,所以 . （5）若,则 .( ) × [解析] . 探究点一 幂函数的导数 例1（1） 若函数,则 ( ) D A.0 B. C.2 D. [解析] 因为,所以 .故选D. （2）已知,若,则 ____. [解析] ,则,解得 . （3）设的图象在点处的切线与 轴的交点的横 坐标为，则 _____. [解析] 由得，所以 的图象在 处的切线的斜率为，切线的方程为， 令 ，解得，即 ， 所以 . （4）求曲线在点 处的切线方程. 解：因为,所以曲线在点处的切线的斜率为 ,则切线方程为 ,即 . 探究点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数： （1） ； 解：因为，所以 . （2） ； 解：因为，所以 . （3） ； 解：因为，所以 . （4） ； 解：因为，所以 . （5） ； 解：因为，所以 . （6） ； 解：因为，所以 . （7） . 解：因为,所以 . 变式 求下列函数的导数: （1） ； 解：， . （2） ; 解：, . （3） ； 解：， . （4） . 解：， . ［素养小结］ （1）若函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导. （2）若函数不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等交换对解析式进行化 简或变形后求导. 探究点三 导数公式的应用 例3（1） 质点沿直线运动的路程（单位：）与时间（单位： ）的关系式 是，则质点在 时的瞬时速度为( ) B A. B. C. D. [解析] ,, 质点在 时的瞬时速度为 .故选B. （2）一个物体的位移（单位：）与时间（单位： ）之间的关系式为 ,则该物体在时的瞬时速度是____ . 48 [解析] ,,则，故该物体在 时的瞬 时速度是 . 探究点四 利用导数公式解决切线问题 例4 求满足下列条件的直线方程： （1）过原点且与曲线 相切； 解:，设切点为，切线方程为，则 ， 所以，解得，所以所求切线方程为 . （2）斜率为且与曲线 相切. 解:因为切线的斜率为，所以令，得，则切点为 ，所以所 求切线方程为，即 . 变式（1） （多选题）[2024·浙江绍兴高二期末] 设函数 的图象在 点处的切线为，则直线 的斜率可能为( ) ABC A. B. C.1 D. [解析] 因为，所以，又函数 的图 象在点处的切线为，所以直线的斜率的取值范围是.故选 . （2）（多选题）曲线在点处的切线与直线垂直，则点 的坐标可 能是( ) AB A. B. C. D. [解析] 易知切线的斜率为，设，因为，所以 ，解 得，则点的坐标为或，故选 . （3）若直线与曲线相切于点，则切点 的坐标为 _____， ___. 2 [解析] 设，由题意可知，函数在 处的导数 ,解得，所以点或. 由点 在直线上，可得（舍）； 由点在直线 上，可得. 故切点的坐标为, . ［素养小结］ （1）对于指数、对数函数的导数，最常考查的是与 ，研究它们 图象的切 ... ...
