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课件网) 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第1课时 函数的极值与导数 探究点一 函数极值概念的理解 探究点二 求函数的极值 探究点三 利用极值求参数的值或者范围 【学习目标】 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件,极大值、极小值与导 数的关系. 2.会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）. 知识点一 函数极值的定义 1.极小值点与极小值：对于函数,若函数在点 处的函数值 比它在点附近其他点处的函数值都____,___,而且在点 附 近的左侧_____,右侧_____,我们就把___叫作函数 的极小值 点,_____叫作函数 的极小值. 小 0 2.极大值点与极大值：对于函数,若函数在点 处的函数值 比它在点附近其他点处的函数值都____,___,而且在点 附 近的左侧_____,右侧_____,我们就把___叫作函数 的极大值 点,_____叫作函数 的极大值. 大 0 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的极小值点就是函数图象上相对最低的点.( ) × [解析] 函数的极小值点不是点,它是函数的极小值对应的自变量的值. （2）一个函数的极大值一定大于极小值.( ) × [解析] 由定义知，极值只是说明某个点的函数值与该点附近的函数值比较是最 大或最小的，并不意味着该点的函数值在整个定义域内是最大或最小的. （3）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.( ) √ （4）一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值.( ) × [解析] 一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值. （5）若在内有极值,则在 内不单调.( ) √ [解析] 若在内有极值,则在 的极值点的两侧附近其单调性一定相 反,故在 内不单调. 知识点二 求函数极值的步骤 一般地，可按如下方法求函数 的极值： 解方程，当 时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么 是极____值； 大 （2）如果在附近的左侧，右侧，那么 是极____值. 可将,, 的变化情况列成如下表格: 左侧 右侧 0 - 单调递增 极大值 单调递减 左侧 右侧 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 小 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知函数的导函数为，若,则一定是 的极值点. ( ) × [解析] 例如，，则，但0不是函数 的极 值点. （2）可导函数在极值点处的导数一定为0.( ) √ （3）设函数的定义域为，是的极小值点，则 是 的极大值点.( ) √ [解析] 函数与函数的图象关于轴对称，故是 的极大值点. 探究点一 函数极值概念的理解 例1（1） 函数的定义域为开区间，导函数在 内的图象如 图所示，则函数在开区间 内的极大值点有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [解析] 依题意，记函数的图象与轴的交点的横坐标从小到大为,,, . 当时，； 当时，； 当 时，； 当时，； 当时，. 所以 为极小值点，为极大值点，为极小值点， 故函数在开区间 内的极大值点有1个.故选A. （2）设函数在上可导，其导函数为 ，且 函数 的图象如图所示，则下列说法中正确 的是( ) D A.函数有极大值和极小值 B.函数有极大值和极小值 C.函数有极大值和极小值 D.函数有极大值和极小值 [解析] 由题图可知，当时，；当时， ； 当时，；当时，. 所以函数在 处取得极大值，在处取得极小值， 即函数有极大值和极小值 .故选D. 变式（1） 设函数在上可导，其导函数为，若函数在 处 取得极小值，则导函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. [解析] 因为函数在处取得极小值，所以导函数在 附近的左 侧小于零，在 附近的右侧大于零，由图可知只有选项B符合题意，故选B. （2）已知是函数的导函数，函数 的 图象如图所示，则 的极大值点为 ( ) A A. B. C. D. [解析] 由图可知，当时，， 所以； 当 ... ...
