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课件网) 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第2课时 函数的最大（小）值与导数 探究点一 求函数的最大值与最小值 探究点二 利用最值证明不等式 【学习目标】 1.理解函数的最大值、最小值. 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 3.能利用最值证明简单的不等式. 知识点一 函数最值的定义 1.一般地,如果在区间上函数 的图象是一条_____的曲线,那 么它必有最大值和最小值. 连续不断 2.一般地，设函数的定义域为，区间是 的一个子区间，如果存在实 数 满足： （1）对任意，都有或 ； （2）存在，使得 . 那么，我们称是函数在区间 上的最大值（或最小值）. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. ( ) √ （2）函数在开区间内不存在最大值和最小值.( ) × [解析] 函数在开区间内有可能存在最大值和最小值. （3）若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数 在 区间 上的极大值.( ) × [解析] 若函数在区间 上有最大值，则最大值可能在极大值点或区间端 点处取得. （4）若函数在区间上有最值，则最值一定在或 处取得. ( ) × [解析] 若函数在区间 上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得. （5）若函数的图象在区间内连续不断,则在区间 内必有 最大值与最小值，但不一定有极值. ( ) √ 知识点二 求函数的最大值与最小值的步骤 一般地，求函数在区间 上的最大值与最小值的步骤如下: （1）求函数在区间 内的_____; （2）将函数 的各极值与端点处的函数值_____比较,其中最大的 一个是最大值,最小的一个是最小值. 极值 , 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数在区间上的最大值是 .( ) √ （2）函数在区间上的最小值是 .( ) × [解析] ，令,得. 因为, ,, 所以在区间上的最大值是,最小值是 . （3）定义在闭区间 上的图象连续不断的函数的极大（小）值可以有多 个，但最大（小）值只能有一个.( ) √ 探究点一 求函数的最大值与最小值 ［探索］ 函数的图象的最高点和最低点的横坐标分别为函数 的 最大值点和最小值点.如果函数 存在最大值,那么其最大值是否唯一 最大值 点是否唯一 解：最大值唯一,最大值点不唯一. 例1 求下列函数的最值. （1）， ; 解：因为,， 所以 ，. 令，得或.当时， ； 当时，；当时，. 所以当时， 取得极大值， 当时，取得极小值 ， 又因为，，所以函数的最大值是7，最小值是 . （2）， ； 解：因为,,所以， . 令，得 . 因为，所以，所以，所以 . 当时，；当时， ； 当 时， . 所以当时，取得极小值，当时， 取得极 大值 ， 又，，所以， . （3）， ; 解：因为, ，所以 ， . 令，得或 （舍去）. 当时，；当时， . 所以当时，取得极小值 . 又，，且 ， 所以函数的最大值为 ，最小值为1. （4） . 解：因为，所以函数的定义域为， . 令，得 . 当变化时，， 的变化情况如下表： 2 0 - 单调递增 单调递减 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 无最小值，且 当时，取得最大值 . 变式（1） 求函数, 的最值. 解:,.令,得或. 当变化时， 与 的变化情况如下表： 0 - 0 单调递增 单调递减 单调递增 因为,,, ,所以当时, 取得最小值0,当 时,取得最大值 . （2）求函数， 的值域. 解:因为，，所以 ， . 令，得；令，得 . 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以 . 又， ， 即 ， 所以，即函数的值域为 . ［素养小结］ （1）求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无 需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函 数值进行比较，其中最大的就是函数的 ... ...
