滚动习题(四) 1.B [解析] 由函数f(x)=+ln x,可得其定义域为(0,+∞),且f'(x)=+=,令f'(x)<0,得00,得x>2,由f'(x)<0,得x<2,则f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(2)=-e2.故选D. 3.D [解析] 由题意,f'(x)=a-2cos 2x≥0在(0,π)上恒成立,即a≥2cos 2x在(0,π)上恒成立,对于y=2cos 2x,x∈(0,π),有-2≤2cos 2x<2,故a≥2.故选D. 4.C [解析] 因为f(x)=ax3-3x+1,所以f'(x)=3ax2-3.当a≤0时,f'(x)<0,f(x)为减函数,没有极值.当a>0时,由f'(x)=3ax2-3=0得x=±,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=时,f(x)有极小值,极小值为f=1-=-1,解得a=1.故选C. 5.C [解析] 由题意可得f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex,令f'(x)=0,解得x1=-,x2=,所以在(-∞,-)和(,+∞)上,f'(x)>0,在(-,)上,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减,又因为f(0)=0,所以C正确.故选C. 6.B [解析] 函数y=ex-2x的定义域为R,求导得y'=ex-2,当xln 2时,y'>0,函数y=ex-2x单调递增,所以当x=ln 2时,函数y=ex-2x取得最小值2-2ln 2,画出y=ex-2x的大致图象与直线y=a,如图,所以当函数y=ex-2x的图象与直线y=a恰有两个不同的交点时,a>2-2ln 2.故选B. 7.D [解析] a==,b=-ln==,c==,令f(x)=(x>0),则a=f(e),b=f(4),c=f.由f(x)=(x>0),得f'(x)=(x>0),所以当00,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.因为e<4<,所以f(e)>f(4)>f,所以a>b>c,故选D. 8.BCD [解析] 因为f'(x)>0,所以f(x)在R上是增函数,其图象不关于直线x=1对称,故A错误,B正确.因为y=f'(x)的图象都在直线y=2的上方,所以f'(x)>2,设f(x)的图象在x=-1处的切线的倾斜角为α,则tan α>2,因为正切函数y=tan x在上单调递增,所以α>,故C正确.令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2>0,故g(x)在R上单调递增,又因为g(-1)=f(-1)-2=0,所以不等式f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞),故D正确.故选BCD. 9.BCD [解析] 因为f(x)=x2ln x,所以该函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=2xln x+x2·=x(2ln x+1),可得当0时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增,所以f(x)极小值=f()=e-1ln =-,故B正确,C正确; 当00,函数V(x)单调递增,当x∈(2,5)时,V'(x)<0,函数V(x)单调递减,所以当x=2时,V(x)max=144. 12.0或 [解析] 因为y=x+ln x,所以y'=1+,所以当x=1时,y'=1+1=2,即切线的斜率为2,所以由点斜式得切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.由整理得ax2+(2a+1)x+2=0,因为切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点,所以方程ax2+(2a+1)x+2=0只有一个根.当a=0时,方程为x+2=0,只有一个根,满足题意;当a≠0时,Δ=(2a+1)2-8a=0,即(2a-1)2=0,解得a=.综上,a=0或a=. 13.解:(1)由f(x)=x3-3x2+3,得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2), 当x<0或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当0
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