【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.2 3.2.2 第1课时 奇偶性的概念 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

3.2.2　函数的奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 学习任务 核心素养 1．理解奇函数、偶函数的定义．(重点) 2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(重点) 3．掌握判断函数奇偶性的方法．(难点) 1．借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养． 2．借助判断函数奇、偶性的方法，培养逻辑推理素养． 填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征． x －3 －2 －1 1 2 3 f (x)＝x2 g(x)＝ 知识点　函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数F(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I 结论 F(－x)＝F(x) F(－x)＝－F(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ [提示]　定义域关于原点对称． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数． (　　) (2)对于函数y＝f (x)，若存在x，使f (－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数． (　　) (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (　　) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1　　　　　　 B．0 C．1 D．无法确定 C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．] 类型1　函数奇偶性的判断 【例1】　【链接教材P84例4】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x3＋x； (2)f (x)＝； (3)f (x)＝； (4)f (x)＝ [解]　(1)函数的定义域为R， 且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f (x)，因此函数f (x)是奇函数． (2)由得x2＝1，即x＝±1． 因此函数的定义域为{－1，1}，且f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 因为函数的定义域不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x)的定义域为{x|x≠0}， f (－x)＝ 即f (－x)＝ 于是有f (－x)＝－f (x)， 所以f (x)为奇函数． 【教材原题·P84例4】 例4　判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x2＋|x|； (2)g(x)＝x＋； (3)h(x)＝x3(x∈[－2，5])． [解]　(1)函数f (x)的定义域为R．因为对 x∈R，均有－x∈R，且f (－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f (x)，所以f (x)为偶函数． (2)函数g(x)的定义域为{x|x≠0}．因为对 x∈{x|x≠0}，均有－x∈{x|x≠0)，且g(－x)＝－x＋＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数． (3)因为h(x)的定义域关于原点不对称，所以h(x)既不是奇函数也不是偶函数． 　判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法： (2)图象法： [跟进训练] 1．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x)＝x6＋1； (2)f (x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f (x)＝； (4)f (x)＝ [解]　(1)函数f (x)＝x6＋1的定义域为R， 且f (－x)＝＋1＝x6＋1＝f (x)， 所以函数f (x)＝x6＋1为偶函数． (2)函数f (x)的定义域是R，且f (－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f (x)， 所以f (x)是偶函数． (3)函数f (x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，且 f (－x)＝＝－＝－f (x)， 所以函数f (x)＝为奇函数． (4)函数f (x)的定义域为R， 当x<0时，－x>0，f (－x)＝(－x)3＝－x3，而f (x)＝x2，所以当x<0时不满足f (－x)＝f (x)，也不满足f (－x)＝－f (x)．故此函数是非奇非偶函数． 类型2　奇偶函数的图象问题 【例2】　已知奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5，0]上的图象； (2)写出使f (x)<0的x的取值集合． [解]　(1)因为函数f (x)是奇函数，所以y＝f (x)在[－5，5]上的图象关于原点对称． 由y＝f (x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的 ... ...