【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.1 5.1.2 弧度制 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

5.1.2　弧度制 学习任务 核心素养 1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养． 如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？ 知识点1　角度制与弧度制 (1)度量角的两种制度 角度制 定义 用“_____”作单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的_____ 弧度制 定义 以“_____”为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于_____的弧所对的圆心角 (2)弧度数的计算 比值与所取的圆的半径大小是否有关？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)角度制与弧度制的换算 (4)一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度的角是周角的． (　　) (2)1弧度的角大于1度的角． (　　) 2．(1) rad化为角度是_____； (2)105°的弧度数是_____ rad． 知识点2　扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝_____． (2)扇形面积公式：S＝＝． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝R|α|＝1×30＝30(cm)． (　　) (2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍． (　　) (3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍． (　　) 4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是_____． 类型1　角度与弧度的互化与应用 【例1】　【链接教材P160例4、例5】 (1)①将112°30′化为弧度为_____． ②将－ rad化为角度为_____． (2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例5　把下列各角从弧度化为度： (1) rad； (2)5 rad． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　角度制与弧度制互化 ... ...