2.1 命题、定理、定义 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2029）必修第一册

2．1　命题、定理、定义 1. 了解命题、定理、定义的概念． 2. 熟悉命题的结构，分析命题的条件和结论，能够判断命题的真假． 3. 能够用“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式对命题进行改写. 活动一 命题的概念 问题　下列语句能否判断真假，它们是命题吗？ (1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等； (2) 有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； (3) 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等； (4) 对顶角相等； (5) 若x2＝1，则x＝1； (6) 若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余． 在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 活动二 命题的结构 思考1 观察上述命题中的(1)(3)(5)(6)，这些命题具有怎样的表示形式？ 例1　指出下列命题中的条件p和结论q： (1) 若ab＝0，则a＝0； (2) 若a＜0，则|a|＞0； (3) 如果二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点，那么k＝0； (4) 如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等． 写出下列命题的条件和结论： (1) 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边分别对应相等； (2) 如果一个三角形是锐角三角形，那么这个三角形的三个内角都是锐角； (3) 若a＝b，则a2＝ab； (4) 若A＝30°，则sin A＝. 活动三　命题的改写　 思考2 能将活动一问题中的命题(2)(4)改写成“若p，则q”的形式吗？ 例2　将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式： (1) 平行四边形的对角线互相平分； (2) 对角线互相平分的四边形是平行四边形； (3) 等腰三角形的底角相等； (4) 两个有理数的和是有理数． 将下列命题改写成“若p，则q”的形式： (1) 各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除； (2) 同弧所对的圆周角相等． 要将一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性． 活动四 命题真假的判断　　 思考3 判断命题为真，需要进行证明. 判断命题为假，该怎样做？ 例3　判断下列命题的真假： (1) 若a＝b，则a2＝b2； (2) 若a2＝b2，则a＝b； (3) 全等三角形的面积相等； (4) 面积相等的三角形全等． 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1) 函数y＝2x＋1是一次函数； (2) 当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 1. 由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况． 2. 要判断命题为真，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断命题为假，只要举出反例即可． 思考4 在数学中，有些命题为定理，请问什么是定理，什么是定义呢？ 1. 下列语句中，是命题的为(　　) A. 3是偶数吗？ B. 三角形的内角和等于180° C. 这山里的景色真美啊！ D. x>2 2. 关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．若只有一个假命题，则该命题是(　　) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. (多选)下列命题中，是真命题的为(　　) A. 所有平行四边形的对角线互相平分 B. 若x，y是无理数，则xy一定是有理数 C. 若m<1，则关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根 D. 两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 4. 已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若将上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_____，q是_____． 5. 判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1) 一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2) 若a，b是奇数，则ab是奇数． 2．1　命题、定理、定义 【活动方案】 问题：语句(1)(2)(4)(6)判断为真，语句(3)(5)判断为假．它 ... ...