3.2.2 基本不等式的应用 学案 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

3．2.2　基本不等式的应用(1) 1. 掌握基本不等式≤(a，b≥0). 2. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 活动一 理解常用基本不等式 思考1 基本不等式及其变式有哪些？ 活动二　利用基本不等式求最值　 思考2 已知y＝x(1－x)(00)，求y的最大值以及此时x的值． 设y＝(x>1)，求y的最小值及此时x的值． 设y＝(x＜1)，求y的最大值及此时x的值． 当x＞0时，y＝的最大值为(　　) A. 　　 B. 1　　 C. 2　　 D. 4 例3　若x∈[0，3]，求y＝x(3－x)的最大值及此时x的值． 已知00，则2－3x－的最大值是(　　) A. 2＋4 B. 2－2 C. 2－4 D. 2－6 2. (2024广东实验中学期中)已知x>1，则的最小值是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. (多选)(2024无锡太湖高级中学月考)下列各式中，最小值是6的有(　　) A. x＋ B. 2x2＋ C. D. 4. 已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为_____． 5. (2024商丘月考)已知正数a，b满足a＋b＝2.求： (1) a2＋b2的最小值； (2) ＋的最小值． 3．2.2　基本不等式的应用(2) 1. 能运用基本不等式解决简单实际问题中的最大(小)值问题． 2. 在解题过程中加深对基本不等式成立条件的理解． 3. 培养严谨的思维习惯，体会化归思想在知识建构过程中的作用． 活动一 基本不等式的常见变形 思考 若a，b∈R，则ab，，的大小关系如何？当a，b＞0时，，，的大小关系是怎样的？ 例1　求y＝＋的最大值． 已知正实数x，y满足x＋3y＝9，则＋的最大值是_____． 本例中，由于()2＋()2＝2(定值)，因而不宜直接使用基本不等式，应该使用基本不等式的变式≤ .对于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证一侧为定值，并保证等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式． 活动二　利用基本不等式解决简单的应用问题　 例2　用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？ 长为50m的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为x m，y m，当x，y分别为多少时，面积和最小？最小值为多少？ 例3　某工厂要建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 1. 应用基本不等式解决这类实际问题时的一般步骤： (1) 建立目标函数； (2) 利用基本不等式，求函数的最值； (3) 得出实际问题的解． 2. 应用基本不等式时应注意： (1) “一正”：两项必须都是正数； (2) “二定”：求两项和的最小值，它们的积应为定值，求两项积的最大值，它们的和应 ... ...