6.1 幂函数 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

6．1　幂　函　数 1. 了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质． 2. 了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的大小． 3. 进一步体会数形结合的思想． 活动一 幂函数的概念 在ab＝N中，如果给定a，b，N三个数中的两个数，那么ab＝N就成为以另一个数为未知数的方程，如：23＝x，x3＝8，2x＝8.对此，我们分别学习了乘方运算、开方运算和对数运算． 进一步，在ab＝N中，如果只给定a，b，N三个数中的一个数，那么ab＝N就成为另两个数之间的“函数关系”．设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题． 试考察下列问题： (1) 若正方体的边长为x，体积为y，则y＝x3. (2) 若某放射性物质每经过1年，其剩留量是原来的x倍，则质量为1的这种物质经过100年后，其剩留量应为C＝x100. (3) 如果某人驾车在ts内行进了1 km，那么该车的平均速度为v＝t-1 km/s. 思考1 上述3个问题中函数的对应关系分别是什么？ 思考2 上述3个函数的解析式具有什么共同特征？ 一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 思考3 判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？ 例1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为_____． 只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是． 已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值． 活动二　幂函数的图象和性质　 例2　写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： (1) y＝x3； (2) y＝x； (3) y＝x-2. 思考4 在同一平面直角坐标系内作出下列函数：y＝x，y＝x， y＝x2，y＝x-1，y＝x3的图象． 思考5 仔细观察五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？ y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 思考6 你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？ 例3　求证：幂函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上是增函数． 证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f(x1)－f(x2)的正负． 求证：函数f(x)＝－x3＋1在R上是减函数． 活动三 幂函数的性质的应用 例4　试比较下列各组数的大小： (1) 1.13，0.893； (2) 2.1，2，1.8； (3) ，1，3. 比较两个幂值的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较；指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用进行比较． 比较下列各组数的大小： (1) ，； (2) 2-3，2.5-3； (3) 1.1-0.1，1.2-0.1； (4) 4.1，3.8－，－1.9. 1. (2024常州期末)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(x)(　　) A. 为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递增 B. 为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减 C. 为奇函数且在区间(0，＋∞)上单调递增 D. 为奇函数且在区间(0，＋∞)上单调递减 2. 在下列四个图形中，y＝x－的图象大致是(　　) A B C D 3. (多选)(2025嘉兴期末)已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)，则下列结论中正确的是(　　) A. 函数f(x)的图象都经过点(1，1) B. 若α＝3，则f(3)＝27 C. 若α＝－1，则函数f(x)为偶函数 D. 若函数f(x)的图象经过点(4，2)，则函数f(x)在其定义域上单调递减 4. (2024温州期中)0.3_____0.2. (填“＞”“＝”或“＜”) 5. (2025许昌期末)已知函数f(x)＝(3m2－8m－2)xm(m∈R)为幂函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． (1) 求f(x)的解析式； (2) 若f(a＋4)＋f(－a2＋a－1)<0，求实数a的取值范围． 6．1　幂　函　数 【活动方案】 思考1：(1) y＝x3　(2) C＝x100　(3) v＝t-1 思考2：这些函数的解析式是一个指数幂 ... ...