(
课件网) 6.2 排列与组合 6.2.4 组合数 探究点一 组合数公式及其应用 探究点二 有限制条件的组合问题 探究点三 分组、分配问题 【学习目标】 1.理解组合数的概念. 2.会推导组合数公式,并会应用公式求值. 3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明. 4.能解决有限制条件的组合问题. 知识点 组合数与组合数公式 组合数 定义 表示法 ____ 组合数 公式 乘积式 阶乘式 性质 备注 所有不同组合 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）从，，三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是 . ( ) × （2） .( ) × （3）从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 个积.( ) √ 探究点一 组合数公式及其应用 角度一 组合数的计算与化简 例1（1） 计算： . 解:原式 . （2）计算: . 解:, , . （3）计算: . 解:原式 . 角度二 组合数有关的证明 例2 证明： （1） ； 证明： ， 原式成立. （2） . 证明： ,原式成立. 变式（1） 求使成立的 的值. 解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 ， 即，即， ，解得或 （舍去）. （2）证明： . 证明： ， ， ， 原式成立. （3）若求 满足的条件. 解：由 得 即即故 ， 又，或 . ［素养小结］ 进行组合数的相关计算时,注意以下几点: （1）像排列数公式一样，公式 一般用于计算； 而公式及 一般用于证明、解方程（不等式）等. （2）要注意公式的逆向运用，如例 中可利用“ ”简化计算过程. （3）在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“且 ， ”的运用. （4）例2（1）所推导的结论“ ”以及它的变形公式是 非常重要的公式，应熟练掌握. 探究点二 有限制条件的组合问题 考向1 “含有”与“至少”问题 例3 有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.选派5人外 出比赛,按下列要求分别有多少种选法 （1）男运动员3名,女运动员2名; 解：第一步:选3名男运动员,有 种选法. 第二步:选2名女运动员,有种选法. 故共有 （种）选法. （2）至少有1名女运动员; 解：方法一（直接法）:至少有1名女运动员包括以下几种情况:1女4 男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得共有 （种）选法. 方法二（间接法）:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”, 从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有 种， 所以“至少有1名女运动员”的选法有 （种）. （3）至少有1名队长; 解：方法一（直接法）:可分类求解.“只有男队长”的选法有 种;“只 有女队长”的选法有种;“男、女队长都有”的选法有 种.所以共有 （种）选法. 方法二（间接法）:从10人中任选5人有 种选法,其中不选队长的选 法有种，所以“至少有1名队长”的选法有 （种）. （4）既有队长,又有女运动员. 解：当选女队长时,其他人任意选,共有 种选法； 当不选女队长时, 必选男队长,从其他人中任选4人共有 种选法, 其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有 种. 所以既有队长，又有女运动员的选法共有 （种）. 变式 蓝天救援队有男救援员8名，女救援员4名，现选派5名救援员 参加一项救援. （1）若男救援员甲与女救援员乙必须参加，共有多少种不同的选法？ 解：共有12名救援员，若甲、乙必须参加，则再从剩下的10名中选3 名即可，有 （种）不同的选法. （2）若救援员甲、乙均不能参加，共有多少种不同的选法？ 解：若甲、乙两人均不能参加，则从剩下的10名中选5名即可，有 （种）不同的选法. （3）若至少有一名男救援员和一名女救援员参加，共有多少种不同 的选法？ 解：若不限制条件，则共有 种选法，若所选的5人均为男救援员， 则有 种选法，故至少有一名男救援员和一名女救援员参加共有 （种）不同的选法. ［素养小结］ 组合问题常有以下两类题型: ... ...
