数学探究 杨辉三角的性质与应用 【探究应用】 1.C [解析] 在该数列中,第37项为“杨辉三角”中第21行第3个数,因为从第3行起,每行的第3个数分别为1,3,6,10,…,即,,,,…,所以第21行第3个数为=190,故选C. 2.AB [解析] 对于A,+++++=++++++-=+++++-=…=+-=-=209,故A中说法错误;对于B,第2023行中从左往右第1011个数为,第1012个数为,而≠,故B中说法错误;对于C,第n行的第i个数为ai=,则3i-1ai=3i-1=30+31+32+…+3n=(1+3)n=4n,故C中说法正确;对于D,第20行中从左往右第12个数为,第13个数为,则===×==,故D中说法正确.故选AB. 3.2 [解析] 由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,含x8的项的系数为15+30a=75,解得a=2. 4.220 [解析] 由题意知an=,所以a1+a2+a3+…+a10=+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=++=+===220.++…+=++…+=++…+=2=2=. 5.解:(1)第22行中从左到右的第3个数为==231. (2)设第n(n≥2)行中从左到右的第r,r+1,r+2个数之比为1∶3∶5,则∶∶=1∶3∶5, 即 即 则解得 故在杨辉三角中存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为1∶3∶5,且这3个数是,,,即7,21,35. (3)证明:当n=m时,结论显然成立; 当n>m时,(k+1)== (m+1)=(m+1),k=m+1,m+2,…,n, 由题意知+=, 所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,…,n,因此(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+…+(n+1)]=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+…+(-)]=(m+1). 综上,当m,n∈N*,n≥m时,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1).数学探究 杨辉三角的性质与应用 1.目的 通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,体会其中的数学文化. 2.情境 如图中的表称为杨辉三角,它出现在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中,这是我国数学史上的一个伟大成就. 根据教材中的分析,写出杨辉三角的重要性质. 3.归纳:杨辉三角的重要性质 ①第1行只有一个数字1,除第1行外每行两端的数都是1. ②第n行的数字有n个. ③第n行的第m个数可表示为,且(a+b)n的展开式中的各二项式系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的各项. ④每行数字左右对称,即第n行的第m个数与第n行的第n-m+1个数相等. ⑤相邻的两行中,除1以外的每个数等于它肩上两数的和,即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数与第i个数的和,可表示为=+,其中2≤i≤n.可用此性质写出整个杨辉三角. ⑥第n行的数字和为2n-1. 4.应用:弹子游戏问题 如图,在一块倾斜的木板上,钉上一些正六棱柱形的小木块,在它们中间留下一些通道,从上部的漏斗直通到下部的框中.把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的1个通道落到第2层中间的六棱柱上面(有几个通道就算第几层),再落到第2层中间的六棱柱的左边或右边的2个竖直通道里去,以此类推,最终落到下部的框中. 算一算: +++…++…++=2n(个)小弹子通过n+1层通道,落到各框里的可能情况. 分析:小弹子从每1个通道通过时它选择左、右2个通道的可能性是相等的,而其他任1个通道的可能情形等于它左、右肩上2个通道的可能情形的和.可以设想,第1层只有1个通道,通过的概率是1;第2层有2个通道,通过的概率依次是,;第3层有3个通道,通过的概率依次是,,…… (1)写出第4层小弹子通过各通道的概率. (2)照这样计算第n+1层有n+1个通道,小弹子通过各通道的概率是多少 解:(1)第4层有4个通道,小弹子通过各通道的概率从左到右依次是,,,. (2)我们可以写出如图所示的“概率三角形”,可得出它与杨辉三角的关系:第n层小弹子通过各通道的概率的分子是杨辉三角中的数,分母是2n-1.由此可知,第n+1层小弹子通过各通道的概率从左到右依次是,,,…,,. 1.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示,在“杨辉三角”中,从第3行第3个 ... ...
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