第2课时 函数性质的应用 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1. 因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x), 所以当x>0时,-f(x)=x2+x+1, 即f(x)=-x2-x-1. 故函数f(x)的解析式为f(x)= (2)∵y=f(x)-x2-3为奇函数, ∴f(-x)-(-x)2-3=-f(x)+x2+3, ∴f(x)+f(-x)=2x2+6①. ∵y=f(x)+2x为偶函数,∴f(-x)-2x=f(x)+2x, ∴f(x)-f(-x)=-4x②. 由①+②,得2f(x)=2x2-4x+6,∴f(x)=x2-2x+3. 变式 (1)A [解析] 根据题意,由f(x)+g(x)=x2-x+1①,得f(-x)+g(-x)=x2+x+1,因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以-f(x)+g(x)=x2+x+1②.由①-②得2f(x)=-2x,所以f(x)=-x,则f(2)=-2.故选A. (2)解:当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1. 因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x), 所以当x>0时,f(x)=x2+x+1. 探究点二 例2 解:因为对于任意不相等的实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在R上为减函数.由f(2x)>f(x-1),得2xf(2)>f(3).又f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(1)>f(-2)>f(3),故选C. 变式 BCD [解析] 因为函数f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,所以f(-4)=-f(4),f(-2)=-f(2),因为f(-4)f(2),故A错误;因为f(x)在[0,5]上单调,f(4)>f(2),所以f(x)在[0,5]上单调递增,所以f(x)在[-5,5]上单调递增,所以f(2)
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