3.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 1.A [解析] 若不等式m2+1≥2m成立,则m2-2m+1=(m-1)2≥0成立,等号成立的条件是m-1=0,即m=1.故选A. 2.B [解析] 因为x>0,所以x+-2≥2-2=2-2=0,当且仅当x=1时,等号成立.故y=x+-2(x>0)有最小值0.故选B. 3.C [解析] 因为2bc=a2+c2>2ac,所以2bc>2ac,所以b>a,所以可排除A,D.因为a2-c2=(a+c)(a-c)=2c(b-c),且a,b,c均为正数,所以a-c与b-c的符号相同,所以可排除B.令a=2,c=1,可得b=,可知C可能成立.故选C. 4.B [解析] ∵x<0,∴-2x>0,∴-2x-=(-2x)+≥2=2,当且仅当x=-时,等号成立,∴y=1-2x-≥3,故选B. 5.B [解析] 因为0
=,所以排除A.因为a2+b2>2ab,所以排除C.故选B. 6.B [解析] 因为x2=<=a+b,y2=a+b,所以x20,y>0,所以x1,所以等号不可能成立,不正确.故选AC. 10.正 [解析] ∵a>2,∴a-2>0,∴a+-3=-1≥2-1=1>0(当且仅当a=3时取等号),∴该代数式的值的符号为正. 11.2 [解析] 因为2a·4b=16,即2a·22b=24,即2a+2b=24,所以a+2b=4.又a,b为正实数,所以ab=×a×(2b)≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号,故ab的最大值为2. 12.≥ [解析] 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,则=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立. 13.解:根据基本不等式可知,当a,b,c∈R+时,+≥,当且仅当a=b时取等号;+≥,当且仅当c=b时取等号;+≥,当且仅当a=c时取等号. 所以2≥2,即++≥++,当且仅当a=b=c时取等号. 14.证明:∵a,b,c∈R+且a+b+c=1, ∴a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,当且仅当a=b=c=时等号同时成立. ∵=··,∴≤··=,当且仅当a=b=c=时等号成立,故得证. 15.10 [解析] 要使xy≥m-2恒成立,即使m≤xy+2恒成立,只要m≤(xy+2)min即可.∵x>0,y>0,xy=x+2y,∴xy=x+2y≥2,当且仅当x=4,y=2时取等号,则xy≥8,∴xy+2的最小值为10,∴m≤10,即实数m的最大值为10. 16.证明:(1)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,所以ab+bc+ac=-(a2+b2+c2), 因为abc=1,所以a,b,c都不为0,则a2+b2+c2>0, 所以ab+bc+ac=-(a2+b2+c2)<0. (2)因为a≤b0,b<0,a<0,因为a+b+c=0,所以c=-a-b,由abc=1可得c=,所以c3=c2·c=(-a-b)2·==≥=4,所以c≥,当且仅当a=b时等号成立.3.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 【学习目标】 1.掌握基本不等式,从代数结构、几何直观、数量关系、实际意义等角度分析、理解基本不等式. 2.初步运用基本不等式解决简单的证明问题,发展数学运算素养和逻辑推理素养,培养发现问题、提出问题的意识与能力. ◆ 知识点 基本不等式 1.基本不等式:≥(a≥0,b≥0),当且仅当 时,等号成立. 2.算术平均值与几何平均值:设a≥0,b≥0,则 称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值. 3.基本不等式又称为均值不等式,也可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.当且仅当a,b两数相等时两者相等. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab≥0,则≥. ( ) (2)当x≠0时,有x+≥4. ( ) ◆ 探究点一 正确理解基本不等式 例1 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( ) A.若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2 B.若a>0,b> ... ... 