第一章 4.2 一元二次不等式及其解法（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第一册

4.2　一元二次不等式及其解法 【课前预习】 知识点二 诊断分析 1.解:不一定.当a>0时,不等式的解集为{x|xx2};当a<0时,不等式的解集为{x|x10(a≠0)的解集;一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方的图象上的所有点的横坐标组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集. (2)从“数”的方面看:当一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值大于0时,相应的自变量的值组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;当一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值小于0时,相应的自变量的值组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由-2x2+x+1<0得2x2-x-1>0, 因为方程2x2-x-1=0的Δ=1-4×2×(-1)>0, 所以该方程有两个不相等的实数根,解得x1=-,x2=1, 画出函数y=2x2-x-1的图象,由图可知原不等式的解集为. (2)由3x2+5≤3x,得3x2-3x+5≤0, 令3x2-3x+5=0,可知Δ=9-4×3×5=-51<0, 又函数y=3x2-3x+5的图象开口向上, 所以易知3x2-3x+5≤0的解集为 , 即3x2+5≤3x的解集为 . (3)由-2x2+5x+7≥0可得2x2-5x-7≤0, 因为方程2x2-5x-7=0的Δ=25-4×2×(-7)>0, 所以该方程有两个不相等的实数根,解得x1=-1,x2=, 结合一元二次函数y=2x2-5x-7的图象得原不等式的解集为. 变式　(1)C　(2)　[解析] (1)不等式(x+1)(2-x)>0可化为(x+1)(x-2)<0,解得-10,解得x<0, 此时不等式的解集为(-∞,0). ②当a≠0时,方程ax2-x=0有两个不相等的实根,分别为0和. 当a>0时,>0,此时不等式的解集为(-∞,0)∪;当a<0时,<0,此时不等式的解集为. 综上所述,当a>0时,不等式的解集为(-∞,0)∪;当a=0时,不等式的解集为(-∞,0); 当a<0时,不等式的解集为. 变式　ABC　[解析] 一元二次不等式(x-a)(x+1)<0对应的一元二次方程为(x-a)(x+1)=0,两根为a和-1.当a>-1时,一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集为(-1,a);当a=-1时,不等式(x-a)(x+1)<0可化为(x+1)2<0,无解,则一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集为 ;当a<-1时,一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集为(a,-1).故选ABC. 探究点三 例3　解:由题意知可得 代入不等式cx2-bx+a>0, 得ax2+ax+a>0(a<0), 即x2+x+1<0,化简得x2+5x+6<0,解得-30, 得ax2+ax+a>0(a>0), 即x2+x+1>0,化简得x2+5x+6>0, 解得x>-2或x<-3. 所以所求不等式的解集为{x|x>-2,或x<-3}.4.2　一元二次不等式及其解法 1.A　[解析] 由x2≤3x,得x(x-3)≤0,所以其解集为{x|0≤x≤3},故选A. 2.C　[解析] 借助一元二次函数的图象进行分析可得. 3.C　[解析] 由表可知当x=-2时,y=0;当x=3时,y=0,所以y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-3).又因为当x=1时,y=a(1+2)×(1-3)=-6a=-6,所以a=1,所以函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,且-2和3是方程ax2+bx+c=0的两个根.故易知ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2,或x>3}. 4.B　[解析] 对于A,3x2-7x≤10,即(x+1)(3x-10)≤0,解得-1≤x≤,A错误;对于B,-x2+x-≤0,即(x-1)2≥0,解集为R,B正确;对于C,(x+2)(x-3)>0,解得x<-2或x>3,C错误;对于D,-2x2+x<-3,即(x+1)(2x-3)>0,解得x<-1或x>,D错误.故选B. 5.D　[解析] 根据根与系数的关系得,c=1×(-6)=-6,-b=1+4=5,方程x2+bx+c=0的两根x1,x2满足解得故原不等式的解集为{x|-10,∴不等式的解集为{x|-2a