2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章 2.2 基本不等式 同步练习(及答案)

高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 2.2 基本不等式 一、单选题 1.给出条件① ② ③ ④ ，其中能使 成立的条件有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.设 ，，且 ，则 的最小值是（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 3.若实数 满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 4.若 ，则 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 5.不等式 中，等号成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题 7.若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 8.下列推导过程，正确的是（ ） A. 因为 ，所以 B. 因为 ，所以 C. 因为 ，所以 D. 因为 ，，所以 ，当且仅当 时，等号成立 9.下列选项正确的是（ ） A. 当 时， 的最小值是3 B. 已知 ，则 的最大值是-2 C. 当 时， 的最大值是5 D. 设 ，则 的最小值为2 三、填空题 10.若 ，则 的最小值为_____. 11.已知 ，则 取得最大值时 的值为_____. 12.已知 为正实数，且满足 ，则 的最大值为_____. 四、解答题 13.若 都是正数，求证： 14.已知 ，且 ，求证： 15.如图所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为 、宽为 。 （1）现有钢筋网36m，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大值为多少？ （2）若使每间虎笼面积为 ，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 一、单选题 1.答案：C 解析：要使，需满足（否则左边为负数，无法≥2）。 ①、③（）、④（）均满足；②不满足。 共3个条件成立，故选C。 2.答案：A 解析：且，则。 由基本不等式，故，最小值为1，故选A。 3.答案：D 解析：，则，变形得： 。 由基本不等式，故， 因此，最大值为，故选D。 4.答案：C 解析：，则，变形得： 。 由基本不等式， 故，最小值为6，故选C。 5.答案：D 解析：由基本不等式，等号成立条件为，即，，故，故选D。 6.答案：A 解析：- 充分性：若，则，由基本不等式，充分性成立； 必要性：若，取（满足不等式），但，必要性不成立。 故为充分不必要条件，选A。 二、多选题 7.答案：AD 解析：，则同号： A：（完全平方公式），恒成立； B：需，取，，不成立； C：应为（等号成立时），“>”错误； D：，由基本不等式，恒成立。 故选AD。 8.答案：ABD 解析： A：，则，，推导正确； B：，，正确； C：，，而，推导错误； D：，则，变形为，等号成立时，正确。 故选ABD。 9.答案：ABC 解析：- A：，，（等号成立时），正确； B：，（等号成立时），正确； C：，，故（等号成立时），正确； D：设，在时单调递增，最小值为，错误。 故选ABC。 三、填空题 10.答案： 解析：，则，变形得： 。 由基本不等式， 故，最小值为。 11.答案： 解析：，则，变形得： 。 由基本不等式（等号成立条件），解得，此时取得最大值。 12.答案：9 解析：且，变形得： 。 由基本不等式，故， 因此，最大值为9。 四、解答题 13.证明： 因，由基本不等式： （等号成立时）， （等号成立时）。 两式相乘得： ， 当且仅当且（即）时取等号，故原不等式成立。 14.证明： 因且，变形得： 。 由基本不等式： ，，， 故， 当且仅当时取等号，故原不等式成立。 15.解： 由题意，钢筋网总长（一面靠墙，需2根长、5根宽），每间虎笼面积。 (1) 已知，即，求的最大值： 由基本不等式，代入得： 。 等号成立时，联立解得，。 故每间虎笼长、宽（或），面积最大值为（或）。 (2) 已知，即，求的最小值： 由基本不等式，代入得： 。 等号成立时，联立解得，。 故每间虎笼长、宽，钢筋网总长最小值为。 ... ...