中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学必修第一册 专题强化练1 利用基本不等式求含条件的最值 1.(2025河北承德八中期中)已知a+2b=1,且a>0,b>0,则+的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2024湖南长沙市一中段考)若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4,则2a+b+c的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025江西鹰潭余江一中期中)已知a>0,b>0,且ab-4b+1=0,则+9b的最小值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.(2024山东济宁育才中学月考)已知正数a,b满足a+b=3,若a5+b5≥λab恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.(2025江西赣州瑞金第一中学月考)已知a>0,b>0,c>0,且a+3b-c≥0,则+的最小值为( ) A. B. C. D. 6.(2025江西华东师大上饶实验中学检测)已知a>0,b>0,且a+2b=2,若3t2-t≤+恒成立,则实数t的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.(多选题)(2024湖北孝感部分学校月考)已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则( ) A.2a+b的最小值为8 B.+的最小值为 C.ab的最大值为8 D.b+的最小值为 8.(2024河南郑州外国语学校月考)已知二次函数y=ax2+4x+c,其中a>c,若y的最小值为0,则的最小值为 . 9.(2025广东深圳盐田高级中学月考) (1)已知x>1,求x+的最小值; (2)已知x>0,y>0,且满足+=1,求x+2y的最小值; (3)当0
0且a(a+b+c)+bc=a(a+b)+ac+bc=(a+c)(a+b)=4, 所以2a+b+c=a+b+(a+c)≥2=4,当且仅当a+b=a+c,即b=c时取等号,故2a+b+c的最小值为4. 方法技巧 将条件进行因式分解后是积的形式,所求式恰好可变形为这两个因式和的形式,再运用基本不等式求解. 3.B 因为ab-4b+1=0,所以a+=4,所以+9b==,又a>0,b>0,所以ab>0,所以+9ab≥2=6,当且仅当=9ab,a+=4,即a=1,b=时等号成立,所以+9b≥×(10+6)=4,故+9b的最小值是4. 解题技法 求含有两个变量的式子的最大(小)值时,往往先找出条件与待求式的关系,得到定值,再利用基本不等式求解.若找不到定值,可先利用条件消去一个变量,再利用基本不等式得出最值. 4.B 依题意得+≥λ. ∵a+b=3,a>0,b>0, ∴+== ≥== =≥==, 当且仅当a=b,即a=,b=时,等号同时成立, 所以λ的取值范围为. 5.C 由a+3b-c≥0可得c≤a+3b, 因此+≥+=+=+, 令=t,则+=t+,t>0, 又t+=(9t+1)+-≥2-=,当且仅当(9t+1)=,即t=时,等号成立, 所以+的最小值为. 6.D 由a>0,b>0,知>0,>0, 因为+=+=++2≥2+2=4,当且仅当=,a+2b=2,即a=b=时等号成立,所以+的最小值为4. 因为3t2-t≤+恒成立,所以3t2-t≤4,即(3t-4)(t+1)≤0,解得-1≤t≤,即t∈. 7.ACD 由16=ab+2a+b得b==-2. 2a+b=2a+-2=2(a+1)+-4≥2-4=8,当且仅当2(a+1)=,即a=2时取等号,因此2a+b的最小值为8,A正确; +≥2=2=,当且仅当a+1=b+2时取等号,因此+的最小值为,B错误; 16=ab+2a+b≥ab+2,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0<≤2,即00,Δ=16-4ac=0,则c=>0,又a>c,所以a>2,则a->0, 因此==2·=2·=2≥2×2=8,当且仅当a-=,即a=1+时取等号, 所以的最小值为8. 9.解析 (1)因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式得x+=(x-1)++1≥2+1=5, 当且仅当x-1=,即x=3时等号成立, 故x+的最小值为5. (2)因为+=1,x>0,y>0, 所以x+2y=(x+2y)=10++ ≥10+2=18, 当且仅当=,+=1,即x=12,y= ... ... 
