第四章 2.2 换底公式（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第一册

2.2　换底公式 【课前预习】 知识点 1.　2.　 诊断分析 解:底数a是大于0,且不等于1的任意数. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)　[解析] (1)由换底公式得log45·log56·log64=··=1,故选B. (2)原式===×××=. 变式　(1)C　[解析] 原式=(log32)2+2log32·log23+(log23)2-=(log32)2+2×1+(log23)2-=2.故选C. (2)解:①lg 20+log10025=1+lg 2+=1+lg 2+lg 5=2. ②(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52)=(log253+lo52+lo5)·(lo23+lo22+log52)=×log25×(1+1+1)×log52=×3=13. 探究点二 例2　解:(1)方法一:∵18b=5,∴log185=b, 又log189=a,∴log3645=====. 方法二:∵18b=5,∴log185=b,又log189=a,∴log3645===. 方法三:∵log189=a,18b=5,∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18, ∴log3645====. (2)∵2a=3b=5,∴a=log25,b=log35,∴lg 15====. 变式　　[解析] ∵lg 2=a,lg 3=b,∴log1815====. 探究点三 例3　证明:令3x=4y=6z=m,由x,y,z均为正实数, 得m>1,x=log3m,y=log4m,z=log6m, ∴=logm3,=logm4,=logm6, ∴-=logm6-logm3=logm2=.故得证. 变式　A　[解析] 由已知,得52a=404b=2020c=2022,得2a=log52022,b=log4042022,c=log20202022,所以=log20225,=log2022404,=log20222020,又5×404=2020,所以+=,即+=.故选A.2.2　换底公式 1.C　[解析] lg 2·log210=lg 2·=lg 10=1,故选C. 2.C　[解析] ∵=,∴log75=a,则7a=5.故选C. 3.B　[解析] 由题意得··=log416=log442=2,所以=2,即lg m=2lg 3=lg 9,所以m=9,故选B. 4.D　[解析] 对于①,右边=logab2-logac2=loga≠左边,故①不正确;对于②,当a=3时,(loga3)2=1≠2loga3=2,故②不正确;对于③,=log315>1,lg 5<1,则≠lg 5,故③不正确;对于④,由对数的运算性质知logax2=loga|x|2=2loga|x|,故④正确;对于⑤,由换底公式知logab·logba=·=1,故⑤正确.其中正确的是④⑤.故选D. 5.A　[解析] log3528====,故选A. 6.A　[解析] ∵logax==2,∴logxa=.同理可得logxb=,logxc=,则logabcx====1. 7.B　[解析] 由3x=5y=k,得x=log3k,y=log5k,易知k>0且k≠1,所以+=+=logk3+logk5=logk15=2,则k2=15,k=(负值舍去).故选B. 8.ABC　[解析] 根据对数换底公式可知A,B,C均正确;D中,logab=,故D错误.故选ABC. 9.BC　[解析] 对于A,取a=2,b=4,c=2,则logab=2,=,logab≠,故A不正确;对于B,===,故B正确;对于C,×=log2×log5=log25×log54=log24=2,故C正确;对于D,log39+log42=2+≠0,故D不正确.故选BC. 10.　[解析] +log164=log84+lo22=+=. 11.4　[解析] ∵2a=3,∴a=log23.同理b=log35,c=log57,d=log716.则由换底公式可得abcd=log23·log35·log57·log716=···==4. 12.11　[解析] 设需要的普通玻璃的层数为n(n∈N*),由题意可得k·≤,可得≥3,所以n≥lo3==≈10.37,又n∈N*,所以n≥11,因此,至少需要的普通玻璃的层数为11. 13.解:(1)log34·log249·log79=··=··=8. (2)(log43+log29)(log92-log278)==-. 14.解:(1)因为alog918=1, 所以a=log189,18a+18-a=1+1=9+=. (2)由18b=5得log185=b, 所以log365=====. 15.C　[解析] 由题知,M,N为线段AB的三等分点,易得M,N,将点M,N的坐标分别代入y=xa,y=xb,得=,=,解得a=lo,b=lo,所以ab=lo×lo=×=1.故选C. 16.证明:(1)由勾股定理得a2+b2=c2.又a≠1,∴log(c+b)a+log(c-b)a=+= == =2log(c+b)a·log(c-b)a,∴原等式成立. (2)∵lob1=lob2=…=lobn=λ,∴b1=,b2=,…,bn=,∴b1b2…bn=… =(a1a2…an)λ, ∴lo(b1b2…bn)=λ.2.2　换底公式 【学习目标】 1.通过对数换底公式的推导,提升逻辑推理的核心素养. 2.通过用对数换底公式进行化简求值,培养数学运算的核心素养. ◆ 知识点　对数换底公式 1.换底公式 logab=　　　　(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1). 2.几个重要结论 lobm=　　　　logab(a>0,b>0,且a≠1,n ... ...