中小学教育资源及组卷应用平台 专题1.4 线段垂直平分线与角平分线 基础知识夯实 知识点01 线段垂直平分线的性质 1.线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端的 距离相等 ． 2.线段的垂直平分线的逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线 上。 3、线段垂直平分线的尺规作图（步骤）：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）。 注意：线段的垂直平分线性质是证明两线段相等的常用方法之一；同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。 知识点02 角平分线的性质 1、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的 距离相等 。 如图1，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。 图1 图2 图3 2、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在 角的平分线 上。 如图2，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB。 拓展：三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等，这点是三角形内切圆的圆心（内心）。 3、角的平分线的尺规作图（步骤）：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；（3）画射线OC，即射线OC即为所求（如图3所示）。 典型案例探究 知识点01 线段垂直平分线的性质 例1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：A选项：根据 角平分线上的点到角两边的距离相等，可知：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故A选项不符合题意； B选项：三角形三条中线的交点到三角形三边的距离不一定相等，故B选项不符合题意； C选项：三角形三条高的交点的位置与三角形的形状有关，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故C选项不符合题意；D选项：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，为使游戏公平，凳子应放在三角形的三条边的垂直平分线的交点 上，故D选项符合题意．故选：D． 【变式1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【详解】解：由作图可知：垂直平分，∴， ∴的周长为:；故答案为：14． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线，． 【变式3】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，，∴， ∵平分，∴， 在和中，，∴， 知识点02 角平分线的性质 例1．（24-25八年级下·陕西渭 ... ...
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