第06讲 线段的垂直平分线的性质和判定 讲义 （原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 第06讲 线段的垂直平分线的性质和判定 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【题型1： 线段垂直平分线的性质】 【典例1】在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（ ） A．22 B．23 C．32 D．33 【变式1】如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 【变式3】如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【题型2： 线段垂直平分线的判定】 【典例2】如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【变式1】如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【变式2】风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【题型3：作已知线段的垂直平分线】 【典例3】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【变式2】如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【题型4： 作垂线(尺规作图】 【典例4】如图，已知，利用尺规作图作的边的中线和边上的高，点为垂足（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1】如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 【变式2】如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 【变式3】如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． (1)作 的平分线； (2)过点作线段的垂线． 一、单选题 1．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（ ）cm． A．8 B．2 C．4 D．1 2．如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 4．如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．两内角的平分线的交点处 B．两边高线的交点处 C．两边中线的交点处 D．两边垂直平分线的交点处 5．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 9．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则 ... ...