3.3垂径定理 【知识点1】垂径定理的应用 1 【知识点2】垂径定理 1 【题型1】利用垂径定理求值 1 【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 7 【题型3】垂径定理的实际应用 13 【题型4】垂径定理的推论 16 【知识点1】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【知识点2】垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【题型1】利用垂径定理求值 【典型例题】如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（ ） A.4 B.5 C.6 D. 【答案】B 【解析】过点于点，连接， ∵，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】过作交于，连接如图： 则，为中点，， ， 在中， ， 又长度为整数， 长可为， 故选∶C． 【举一反三2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），则该圆材的直径为（ ） A.寸 B.寸 C.寸 D.寸 【答案】C 【解析】设圆心为，过作于，交于，连接，如图所示， ∴， 设的半径为寸， 在中，，， 则有， 解得， ∴的直径为寸， 故选：． 【举一反三3】如图，的半径是，弦的长为，点在线段上运动，则的长有 个不同的整数． 【答案】 【解析】当时，的值最小， 则， 如图所示，连接， 在中，，， 则根据勾股定理知， 即，∵为正数， 则，即有3个不同的整数, 故答案为：3． 【举一反三4】如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【解析】∵， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，即， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴． 【举一反三5】如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，． (1)求点E到x轴的距离． (2)连结，求的长． 【答案】解：（1）过点作轴于点，如图， 当时，，解得， ， ， ， 在中，， 点到轴的距离为； （2）连结，，如图， 当时，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 【典型例题】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5 cm，油面宽AB为6 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8 cm，则油面AB上升了（ ）cm. A.1 B.3 C.3或4 D.1或7 【答案】D 【解析】分两种情况求①如图1，宽度为8 cm的油面，作与的交点为, 由题意知，，, 在中，由勾股定理得, 在中，由勾股定理得, ∴, ②如图2，宽度为8 cm的油面，作与的交点为，连接, 由题意知，，, 在中，由勾股定理得, 在中，由勾股定理得, ∴, ∴油面AB上升到CD，上升了1 cm，油面AB上升到EF，上升了7 cm； 故选D． 【举一反三1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ） A.6或12 B ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
