第二章 3　从速度的倍数到向量的数乘（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 【课前预习】 知识点一 1.向量　λa　(1)相同　相反　0　任意 (2)|λ||a|　向量的数乘 知识点二 1.(1)λa+μa　(2)(λμ)a　(3)λa+λb 2.加法、减法和数乘 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)× 知识点三 存在唯一　a=λb 诊断分析 (1)×　(2)√ 【课中探究】 探究点一 例1　(1)D　(2)C　[解析] (1)∵a=-b(b≠0),-<0,∴a和b方向相反,且|a|==|b|,∴|b|=2|a|.故选D. (2) 对于A,a与λa方向相同或相反,A不正确;对于B,当0<|λ|<1时,|-λa|<|a|,B不正确;对于C,因为λ2>0,所以a与λ2a方向相同,C正确;对于D,|λa|是实数,|λ|a是向量,不可能相等,D不正确.故选C. 变式　(1)D　(2)　[解析] (1)如图,由=-知点C在线段BA的延长线上,且AC=AB,因此由向量数乘运算的定义知A,B,C中等式均成立,D中等式不成立.故选D. (2)由题意可知2x-1>0,即x>. 探究点二 例2　(1)AB　[解析] 对于A,m(a-b)=ma-mb,A正确;对于B,(m-n)a=ma-na,B正确;对于C,当m=0时,由0·a=0·b,不能得到a=b,C错误;对于D,当a=0时,由ma=na,不能得到m=n,D错误.故选AB. (2)解:①原式=18a-12b-18a+9b=-3b. ②原式=-=-=a+b-a-b=0. 变式　解:由题知3x-2y=a①,-4x+3y=b②,由①×3+②×2,得x=3a+2b,代入①,得3(3a+2b)-2y=a,所以y=4a+3b. 探究点三 例3　解:(1)因为=++, 所以=++=-. (2)因为=+=-=-(-),所以=+=×+=+. 例4　解:如图,设=a,=b. ∵M,N分别是DC,BC的中点, ∴=b,=a. 在△ADM和△ABN中, 即①×2-②,得b=(2c-d),②×2-①,得a=(2d-c),∴=d-c,=c-d. 变式　C　[解析] 由题意知=+=-+=-+(-)=-+-×=-+.故选C. 探究点四 例5　解:(1)证明:∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而=-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2,∴与共线,又与有公共点B,∴A,B,C三点共线. (2)∵8a+kb与ka+2b共线,∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a+(k-2λ)b=0. ∵a与b不共线,∴解得λ=±2,∴k=2λ=±4. 变式　A　[解析] =+=-2a+8b+3a-3b=a+5b,故=,则∥,又因为向量与有公共点B,故A,B,D三点共线.故选A. 拓展　解:由题意可知,=,所以=3,又=+,所以=+.因为B,P,N三点共线,所以+=1,解得m=.§3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 1.D　[解析] 利用向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b,故选D. 2.C　[解析] 因为|a|=3,|b|=5,a=λb,所以|a|=|λ||b|,即3=5|λ|,所以|λ|=,得λ=±. 3.D　[解析] ∵e1,e2是两个不共线的向量,且向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,∴由共线向量基本定理得k=,故选D. 4.A　[解析] 如图所示,=-=-=(-)+=+=a+b.故选A. 5.A　[解析] 由题意得=-=e1-2e2,因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ,使=λ,即e1-ke2=λ(e1-2e2),即解得故选A. 6.A　[解析] 由题意可得=-=+-=(-)=,又=t,∴t=. 7.C　[解析] 因为4=,所以=λ+μ=λ+4μ,因为P,B,D三点共线,所以λ+4μ=1,故选C. 8.CD　[解析] 点P为△ABC所在平面内一点,E为边AC的中点,F为边BC的中点,则+=2,+=2,而+2+3=0,即(+)+2(+)=0,于是得2+4=0,即=2,所以点P在线段EF上,且PE∶PF=2∶1,所以点P,A,C不共线,则向量与不可能平行.故选CD. 9.BCD　[解析] 如图,对于选项A,=-,故A错误;对于选项B,=+=+=+(-)=+,故B正确;对于选项C,=+=+=+=+,而=-,所以=+(-)=+,故C正确;对于选项D,=-=-3=-3(-)=2-3,故D正确.故选BCD. 10.-4　[解析] 因为ka+2b与8a+kb的方向相反,所以ka+2b=λ(8a+kb)(λ<0),所以(λ<0),得k=-4. 11.2　[解析] ∵-3+2=0,∴-=2(-),∴=2,∴=2. 12.　[解析] ∵a,tb,(a+b)三个向量的终点在同一条直线上,且a 与b的起点相同,∴a-tb与a-(a+b)共线,即a-tb与a-b共线,∴存在实数λ,使a-tb=λ,∴得t=. 13.解:(1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)=a+b+a-b-a+b=a+b=a+b. (2)-=-=a+b-a-b=0 ... ...