【创新课堂】2016届高三数学（文理通用）一轮复习（课件+课时作业）：选修4-1 几何证明选讲 （4份打包）

第1讲　相似三角形的判定及有关性质 基础巩固题组 (建议用时：50分钟) 一、填空题 1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形为_____． 解析　Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE. 答案　△FCD、△FBE、△ABD 2. 如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是_____． 解析　∵M，N分别是AB，BC中点，故MN綉AC， ∴△MON∽△COA，∴＝＝. 答案　1∶4 3. (2015·渭南模拟)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝_____． 解析　由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴＝. 又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝＝＝2. 答案　2 4. (2014·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝_____． 解析　连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝，CB⊥AB，∴EBCD为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝DB＝a. 答案　 5. 如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC等于_____． 解析　∵△ABC∽△AFE， ∴＝.又EF＝8，∴BC＝12. 答案　12 6．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝_____． 解析　如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 设AD＝x，∵CD⊥AB于D， ∴由射影定理得CD2＝AD·DB， 即62＝x(13－x)， ∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9. ∵AD＞BD，∴AD＝9. 答案　9 7．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝_____． 解析　在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝. 答案　 8. (2014·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝_____． 解析　∵AB∥CD∥EF， ∴＝，＝， ∴＝，＝， ∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF， ∴＝4＝，∴EF＝3. 答案　3 9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝_____． 解析　∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB， OA∶OC＝AD∶BC＝12∶20， △OAE∽△CAB，OE∶BC＝OA∶CA＝12∶32， ∴EF＝2××20＝15. 答案　15 二、解答题 10. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝AC，BD＝AB，点F在BC上，且CF＝BC.求证： (1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC. 证明　设AB＝AC＝3a， 则AE＝BD＝a，CF＝a. (1)＝＝，＝＝，∴＝. 又∠C为公共角， 故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°， ∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC. (2)由(1)得EF＝a， 故＝＝，＝＝， ∴＝.∵∠DAE＝∠BEF＝90°， ∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC. 11．如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF. 求证：(1)B，D，H，E四点共圆； (2)EC平分∠DEF. 证明　(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°. 因为AD，CE是角平分线， 所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°， 于是∠EHD＝∠AHC＝120°. 因为∠EBD＋∠EHD＝180°， 所以B，D，H，E四点共圆． (2)连接BH，则BH为∠ABC的角平分线，∠HBD＝30°， 由(1)知B，D，H，E四点共圆， 所以∠CED＝∠HBD＝30°， 因为AE＝AF，AD为角平分线，所以EF⊥AD， 又∠AHE＝∠EBD＝60°， 所以∠CEF＝30°， 所以EC平分∠DEF. 12. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证： ... ...